高三数学第二轮专题复习系列(6)-- 不等式

高三数学第二轮专题复习系列(6)-- 不等式

一、大纲解读

从考试大纲的要求看，本专题的主要考点就是：解一元二次不等式、简单的线性规划、基本不等式在求最值中的应用、合情推理（主要是归纳和类比）、综合法与分析法、反证法、数学归纳法、复数的概念和代数形式的四则运算及其集合意义。

二、高考预测

本专题的不等式部分在高考中往往是一到两个小题，重点考查简单的线性规划问题和基本不等式在求最值中的应用，解答题一般没有纯粹不等式的题目，而，会穿插在其他试题中进行综合考查；推理与证明部分可能有一个题目以选择或填空题的方式考查归纳推理或类比推理，在试卷的各个部分都有推理与证明，可能还会在解答题里的一个小问题上考查反证法或数学归纳法的应用；复数部分一般是一个小题，主要的考查点是复数的概念和复数代数形式的四则运算，试题难度中等偏下。整个专题在高考试卷中大约有20分，占整个试卷的15%。 三、 重点剖析

重点1.解一元二次不等式 例1 不等式f(x)?ax2?x?c?0的解集为{x|?2?x?1}，则函数y?f(?x)的图象为（ ）

分析：结合所给的不等式的解集和二次函数的图象，可以知道函数f?x?图象是开口向下的抛物线，并且与x的两个交点的横坐标是?2,1，而函数y?f??x?与函数y?f?x?的图象关于y轴对称，那么y?f??x?的图象也是开口向下的抛物线并且与x轴的两个交点的横坐标是?1,2，由此就可以确定选C。由于题目中只涉及到两个待定的参数，也可以根据题目的条件将这两个参数求出来，再作具体的判断。

?f(?2)?4a?2?c?0?a??1解析： 由?解得?，则选C.

?f(1)?a?1?c?0?c??2点评：二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三者之间关系密切，是高中数学中数形结合的典范，其中的关键点就是二次函数图象与x交点的横坐标（如果有交点的话），它是相应的不等式解集的端点，是相应方程的两个根，是函数的零点。本题中的函数

y?f??x?是在函数y?f?x?中以?x代替x得到的，这样的两个函数图象关于y轴对称（还可以总结什么样的两个函数图象关于x轴对称、关于坐标原点对称等）。三个二次

历年来都是高考的热点，特别是新课标引进函数零点的概念和对不等式的解只要求会解一元二次不等式的时候，要仔细体会着三个二次之间的关系。 重点2.简单的线性规划 例2

已知集合M???x,y?y?ax,a,x,y?R?，

2集合N???x,y?x?2?y?2?1,x,yR?，若M?N??，则a的取值范围

?是 ．

分析：题目中的两个集合可以看作是平面上的两个区域，题目要解决的是这两个区域有公共点的问题，可以借助于数形结合的方法去探究问题的答案。

第1页（共19页）

解析：集合N所表示的平面区域是由区域

??x,y?x?y?1,x,y?R?将中心?0,0?平

移到中心?2,2?得到的，要使M?N??，结合图象可以知道，曲线y?ax2必需经过点

?3,2?和点?1,2?，代入得a?9和a?2，故a的取值范围是??

22?

,2?．如图。 9??

点评：本题的主题是借助于“线性规划的思想方法”考查数形结合的思想意识以及分析问

题和解决问题的能力。高考对二元一次不等式组所表示的平面区域的考查，已经不在局限于目标函数是线性的了，目标函数越来越丰富多彩，但要记住解决问题的基本思想仍然是解决目标函数是线性的思想。本题的区域M可以看作区域N???x,y?x?y?1?先向右

平移2个单位，再向上平移2个单位的结果，而区域是四条线段

x?y?1?x?0,y?0?,?x?y?1?x?0,y?0?,?x?y?1?x?0,y?0?,x?y?1?x?0,y?0?所围成的一个边长为2的正方形，对这个区域考生要熟悉。

重点3.基本不等式的应用 例3

设 0＜t＜?2，a是大于0的常数，函数f(t)?1a，若f?t??16恒?cost1?cost成立，则a的取值范围是 （ ）

A.?1,??? B.?4,??? C.?9,??? D.?9,???

分析：实际上就是函数f?t?的最小值大于或等于16。函数f?t?的特点是变量在分母上，且两个分式的分母之和为常数1，这样就可以使用常数代换的方法解决函数f?t?的最小值。 解析：

f(t)?

1aa?1?costacost?1???cost?1?cost?????1?a?2a??1?a?cost1?costcost1?costcost1?cost??由1?a?2a?1?a??2?16，解得a?9，选D。

点评：基本不等式在必修部分的要求就是两个正数的算术、几何平均值不等式，这个不等

式的主要应用就是求一些函数或式子的最值，值得注意的是其使用条件，可以概括为“一正、二定、三相等”。在使用基本不等式求最值时，常数代换是经常使用的方法，要注意体会。 例4 已知x?0，y?0，x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，则

(a?b)2的最小值是（ ） cdＡ．0 Ｂ．1 Ｃ．2

Ｄ．4

分析：在等差、等比数列中，若涉及数列的多项，可考虑运用等差（比）数列的性质减少项。本题考查性质：若m+n=p+q，则在等差数列中am?an?ap?aq；在等比数列中

am?an?ap?aq。

第2页（共19页）

解：由题知a?b?x?y,cd?xy，x?0，y?0，

2xy?x?y?(a?b)则＝?cdxyxy22??2?4，当且仅当 x=y时取等号。故选D。

点评：（1）本题关键是运用等差、等比数列的性质将结论转化为用x，y表示，然后用基

本不等式解决问题。

（2）注意观察代数式的结构特征，合理选用不等式

a?b?2ab?a?0,b?0?,a2?b2?2ab进行和式与积式的转化。

(a?b)2变式：若x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，则的范围

cd是 。

xy(a?b)2?x?y????2。 解：由题知a?b?x?y,cd?xy，则＝

xyyxcd2(a?b)2xy当xy?0时，?2??2?4，当且仅当 x=y时取等号。

cdyx?xy?(a?b)2当xy?0时，＝??????2??2?2?0，当且仅当x=-y时取等号。

cd?yx?(a?b)2综上范围为???,0???4,???

cd 点评：运用不等式a?b?2ab?a?0,b?0?求最值时，注意三个条件一正：即a,b

两数为正时方可运用上述不等式；二定：即求和的最值须构造积为定值，求积的最值须构造和为定值；三相等：即验证等号成立的条件是否存在。 重点四.合情推理

a2?b，a1?a，例5 已知数列?am?满足an?1?an?an?1(n≥2)，记Sn?a1?a2???an，则下列结论正确的是（ ）

Ａ．a100??a，S100?2b?a Ｂ．a100??b，S100?2b?a Ｃ．a100??b，S100?b?a Ｄ．a100??a，S100?b?a

分析：通过观察选择支的特点和题目的已知条件，可知本题易于使用归纳的方法探究问题的答案。

解析：a3?a2?a1?b?a，S3?a1?a2?a3?2b；a4?a3?a2??a，S4?S3?a4?2b?a；

a5?a4?a3??b，S5?S4?a5?b?a；a6?a5?a4?a?b，S6?S5?a6?0 a7?a6?a5?a，S7?S6?a7?a．

通过观察、分析，知an，Sn都是每隔6项重复。

所以由归纳推理，得a100?a4??a，S100?16S6?S4?S4?2b?a．故此题选Ａ． 点评：数列问题有它的特殊性，在一些规律不明显的情况下，通过解决数列的前几项归纳猜测其一般规律的方法是经常使用的，在数列问题中蕴含着可以使用合情推理解决的大量问题，高考中合情推理的题目主要的知识依托就是数列、不等式和立体几何。 重点五.综合法与分析法 例6 若sin??cos??1，求证：sin6??cos6??1．

分析：从结论和条件两个方面入手，寻找恰当的“中间结果”，实现问题的沟通，分析法和综合法联合使用，达到证明的目的。

)(sin4??sin2?·cos2??cos4?) 证明：sin6??cos6??(sin2?)3?(cos2?)3?(sin2??cos2?·?sin4 …… 此处隐藏：4120字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……