2007-2011年陕西历年高考试题 - 数学理(13)

【解】选C x1?6，x2?9,|x1?x2|?3?2不成立,即为“否”，所以再输入x3；由绝对值的意义（一个点到另一个点的距离）和不等式|x3?x1|?|x3?x2|知，点x3到点x1的距离小于点x3到x2的距离，所以当x3?7.5时，即为“是”，此时x2?x3，|x3?x1|?|x3?x2|成立，所以p?x1?x36?x3?8.5，解得x3?11?7.5，不合题意；当x3…7.5时，，即

22x?x2x?9?8.5，，此时x1?x3，所以p?3，即3|x3?x1|?|x3?x2不成立，即为“否”|22解得x3?8?7.5，符合题意，故选C．

9．设(x1,y1),(x2,y2)，?，(x3,y3)是变量x和y的n个样本点，直线l是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归方程（如图），以下结论中正确的是 （ ） （A）x和y的相关系数为直线l的斜率 （B）x和y的相关系数在0到1之间

（C）当n为偶数时，分布在l两侧的样本点的个数一定相同 （D）直线l过点(x,y)

【分析】根据最小二乘法的有关概念：样本点的中心，相关系

数线，性回归方程的意义等进行判断． 【解】选D

选项 A B C 具体分析 相关系数用来衡量两个变量之间的相关程度，直线的斜率表示直线的倾斜程度；它们的计算公式也不相同 相关系数的值有正有负，还可以是0；当相关系数在0到1之间时，两个变量为正相关，在?1到0之间时，两个变量负相关 l两侧的样本点的个数分布与n的奇偶性无关，也不一定是平均分布 回归直线l一定过样本点中心(x,y)；由回归直线方程的计算公式结论 不正确 不正确 不正确 正确 D ??y?bx?可知直线l必过点(x,y) a

10．甲乙两人一起去游“2011西安世园会”，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是 （ ） （A）

1115 （B） （C） （D）

963636【分析】本题抓住主要条件，去掉次要条件（例如参观时间）可以简化解题思路，然后把问

题简化为两人所选的游览景点路线的排列问题．

【解】选D 甲乙两人各自独立任选4个景点的情形共有A6?A6（种）；最后一小时他们同

44

33A5?A5?61在一个景点的情形有A?A?6（种），所以P??． 44A6?A663535二、填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）

lgx??11．设f(x)??a2x?3tdt???0x?0x?0，若f(f(1))?1，则a? ．

【分析】分段函数问题通常需要分布进行计算或判断，从x?1算起是解答本题的突破口. 【解】因为x?1?0，所以f(1)?lg1?0，又因为f(x)?x?所以f(0)?a3，所以a?1，a?1． 【答案】1

12．设n?N?，一元二次方程x?4x?n?0有整数根的充要条件是n? ． ．．【分析】直接利用求根公式进行计算，然后用完全平方数、整除等进行判断计算． 【解】x?23?a03t2dt?x?a3，

4?16?4n?2?4?n，因为x是整数，即2?4?n为整数，所以4?n2，验证可知n?3,4符合题意；反之n?3,4,2,3,4为整数，且n?4，又因为n?N?，取n?12时，可推出一元二次方程x?4x?n?0有整数根． ．．【答案】3或4

13．观察下列等式

1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49

??

照此规律，第n个等式为 . 【分析】归纳总结时，看等号左边是子的变化规律，右边结果的特点，然后归纳出一般结论．行数、项数及其变化规律是解答本题的关键．

【解】把已知等式与行数对应起来，则每一个等式的左边的式子的第一个数是行数n，加数的个数是2n?1；等式右边都是完全平方数，

行数 等号左边的项数

1=1 1 1 2+3+4=9 2 3 3+4+5+6+7=25 3 5 4+5+6+7+8+9+10=49 4 7

?? ?? ?? 所以n?(n?1)???[n?(2n?1)?1]?(2n?1)，

2

即n?(n?1)???(3n?2)?(2n?1)2 【答案】n?(n?1)???(3n?2)?(2n?1)2

14．植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米．开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为 （米）．

【分析】把实际问题转化为数学模型,然后列式转化为函数的最值问题． 【解】（方法一）设树苗放在第i个树坑旁边（如图），

1 2 ? i ? 19 20 那么各个树坑到第i个树坑距离的和是

s?(i?1)?10?(i?2)?10???(i?i)?10?[(i?1)?i]?10???(20?i)?10 ?10?[i?i?i(i?1)(20?i)(i?1?20)?i?(20?i)?] 22?10(i2?21i?210)，所以当i?10或11时，s的值最小，最小值是1000，所以往返路程

的最小值是2000米.

（方法二）根据图形的对称性，树苗放在两端的树坑旁边，所得路程总和相同，取得一个最值；所以从两端的树坑向中间移动时，所得路程总和的变化相同，最后移到第10个和第11个树坑旁时，所得的路程总和达到另一个最值，所以计算两个路程和即可。树苗放在第一个树坑旁，则有路程总和是10?(1?2???19)?2?10?19(1?19)?2?3800；树苗放在第210个（或第11个）树坑旁边时，路程总和是10?(1?2???9)?10?(1?2???10)?2

?10?9?(1?9)10?(1?10)?2?10??2?900?1100?2000，所以路程总和最小为222000米.

【答案】2000 15．（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）

|x?1|?|x?2|存在实数解，则实数a的取值A．（不等式选做题）若关于x的不等式|a|…范围是 ．

【分析】先确定|x?1|?|x?2|的取值范围，再使得a能取到此范围内的值即可． 【解】当x??1时，|x?1|?|x?2|??x?1?x?2??2x?1…3； 当?1?x?2时，|x?1|?|x?2|?x?1?x?2?3； 当x?2时，|x?1|?|x?2|?x?1?x?2?2x?1?3；

综上可得|x?1|?|x?2|…3，所以只要|a|…3，解得a??3或a…3， 即实数a的取值范围是(??,?3]?[3,??)． 【答案】(??,?3]?[3,??)

?B．（几何证明选做题）如图，∠B=∠D，AE?BC，?ACD?90，且AB=6，AC=4，

AD=12，则BE= ．

【分析】寻找两个三角形相似的条件，再根据相似三角形的对应边成比例求解． 【解】因为AE?BC，

所以∠AEB=?ACD?90，又因为∠B=∠D，所以

?

ACAD?, AEABAB?AC6?4??2，在Rt△AEB中，BE?AB2?AE2?62?22?42．所以AE? AD12△AEB∽△ACD，所以【答案】42

C．（坐标系与参数方程选做题）直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A，B分别在曲线C1：??x?3?cos?（?为参数）和曲线C2：??1?y?4?sin?上，则|AB|的最小值为 ．

【分析】利用化归思想和数形结合法，把两条曲线转化为直角坐标系下的方程．

【解】曲线C1的方程是(x?3)?(y?4)?1，曲线C2的方程是x?y?1，两圆外离，所以|AB|的最小值为32?42?1?1?3．

【答案】3

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共75分） 16．（本小题满分12分） 如图，在△ABC中，∠ABC=60，∠BAC?90，AD是BC上的高，沿AD把△ABD折起，使∠BDC?90．

（1）证明：平面ADB⊥平面BDC；

???2222????????（2）设E为BC的中点，求AE与DB夹角的余弦值．

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