电动力学习题集答案-1(6)

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?????2）???D?0,D??0E,???E(x)?0

?????1????B??E(x) 3）???E??,???E?i?B,?B(x)?i??t6．由Maxwell方程组出发,推导出在没有自由电流和自由电荷的情况下,真空中电场所满足的波动方程和真空中电磁波波速的表达式. 解：Maxwell方程组为

???????B?D??E??,??D?0,??H?,??B?0

?t?t?? 真空D??0E,??B??0H

??????B?H???H???0由??E??, ????E???0

?t?t?t???????2??D???E?E2???H???0,???E??E???0?0?t?t?t2?2?11?E2c??0则有 ?E?2 ,

c?t2?0?0???????E?0

?7．由Maxwell方程组出发,推导出在没有自由电流和自由电荷的情况下,均匀介质中传播的时谐电磁波的电场E所满足的波动方程和电磁波波速的表达式. 解：Maxwell方程组为

???D???E?2E2???H???,???E??E?????t?t?t2???????B?D??E??,??D?0,??H?,??B?0

?t?t????B??H D??E,??????B?H???H???由??E??, ????E????t??t?t??????

????????E?0

??1?E12v??E??0则有 ,22v?t??2

8．由Maxwell方程组出发,推导出在没有自由电流和自由电荷的情况下,真空中磁场B所满足的波动方程和真空中电磁波波速的表达式. 解：Maxwell方程组为

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??????D?E???E??0?0由??B??0, ????B??0?0?t?t?t?? 真空D??0E,??????D??B??E??,??D?0,??H?,??B?0

?t?t长 沙 理 工 大 学 备 课 纸

??B??0H

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??2????B?B2???E??,???B??B???0?0?t?t2???????B?0

??2?11?B2?0 ,c?则有 ?B?22c?t?0?0

?????9．由Maxwell方程组出发,求证在真空中传播的平面单色电磁波E(x,t)?E0exp[i(k?r??t)],

?????k?EB(x,t)?B0exp[(ik?r??t)]是横波,而且满足关系B??,其中k和?是平面单色电磁波的波矢

????量与角频率.

??????D??B,??D?0,??H?,??B?0 解：??E???t?t????B??0H 在真空中 D??0E,?????i?k???i?kz??t??x??t?E(x,t)?E0e, B(x,t)?B0e

????i?k???????x??t?由??E(x,t)?ik?E0e?0得，k?E0?0，?k?E????i?k?????? ?x??t?由??B(x,t)?ik?B0e?0得，k?B0?0，?k?B?????i?k??x?11B(x,t)???E(x,t)???E0e??t?i?i???????k?E0i?kk?E?e?x??t????

??10．考虑频率为?的电磁波在电导率为?的金属导体中的传播，（1）写出金属良导体条件的表达式。（2）证明：在良导体条件下，电荷只能分布在导体表面上。 （1）金属良导体条件为?/(?0?)??1

（2）证明：考虑良导体中某一区域初始电荷密度为?0，由方程

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????E??/?0,j??E，

???/?t???j?0，

?容易得到??/?t???(?E)???/?t?(?/?0)??0

解得

???0exp?[?(/?0)t]

??0/?，因此只要电磁波的周期

电荷密度随时间指数衰减，衰减特征时间为?101?T??????T????????

?0???????1，或?/(?0?)??1，就可以认

0为?(t)?0，即电荷只能分布在导体表面上

11．一频率为?平面单色电磁波，垂直入射到很厚的金属表面上，金属导体电导率为?；求1）进入金属的平均能流密度；2）金属单位体积内消耗的焦尔热的平均值；证明透入金属内部的电磁波的能量全部变为焦尔热。

解：考虑到金属为良导体，电磁波进入导体后，很快衰减，故可设金属导体充满z?0的半空间。电磁波由z?0的真空垂直入射到金属表面

????zi??z??t?1） 进入到金属的电磁场为E?E0ee，

????????i?????i?????zi??z??t??B??E???i?B?ik?E?H?ez?E?ez?E0ee，

?t??????这里复波矢k?(??i?)ez

金属中任意位置处的平均能流密度为

?*??1????zi??z??t???i??1???z?i??z??t??s?ReE?H?Re?eeE0?(ez?E0)ee??22?????????i??1??2?z??i??2??1??2?z???2?z?2??Re?eE0?(ez?E0)??Re?eE0ez??eE0ez????2????2????2?????2?E0ez 进入金属表面的平均能流密度为s?2????2） 金属单位体积内消耗的焦尔热的平均值

?*??*??????zi??z??t?1?2?z?211??z?i??z??t?w?ReE?Jf?ReE??E?ReeeE0?E0ee??eE0

22223) 金属表面单位面积为底的无穷长圆柱体所消耗的平均焦尔热功率

???????2??2?2?z01???2?2?zW??dz?eE0?E0eE0， ??024?4?1????2??2?????????E0?E0。 ，?W?22???4?2??由（1）可知，这正是单位时间内进入金属表面z?0处的能量的值，即透入金属内

部的电磁波的能量全部变为焦尔热。

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电动力第五章习题及其答案

??1. 电磁场矢势A与标势?满足的库仑规范条件为??A?0,罗仑兹规范条件为

?1????A?2?0.

c?t????????A2. 对于一般的电磁场,E和B与矢势A与标势?的关系为（1）E?????, (2) B???A.

?t3.

?1）写出Maxwell方程组；2）由Maxwell方程组导出标势?和矢势A所满足的基本方程组；3）

在洛仑兹规范下,由上述方程组导出达朗贝尔方程组.

????B??E?????t?解：1）Maxwell方程组????D???H?J?f??t????D??f ???B?0??????B???0?B???A???????2) ??B?A?A?A ??E?????E????0???(E?)?0?E???????t?t?t?t????A将E?????及

?t???D??0E代入??D??f得：

?????A??2? ?0??E??0?????????t????0????0?t??A??????????????A???/?0

?t2??????将B???A及B??0H1????D代入??H?Jf?得：

?t??????111?E??B?????A????A??2A?Jf??0?0?0?0?0?t????

???????A?

?????????A??2A??0Jf??0?0??t??t?????2???1??1?A ????A??2A???0Jf?2??22c?tc?t??- 28 -

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?2???1?A1????2?A?2?????A?2????0Jf 2c?tc?t???1???0 3）由洛伦兹规范 ??A?2c?t?2?????????2A???1c21c2?2????/?0?t2? 2??A???0Jf?t24．由Maxwell方程组出发,在库仑规范条件下，推导真空中电磁场的矢势与标势所满足的微分方程.

????B??E?????t?解：1）Maxwell方程组????D???H?J?f??t????D??f ???B?0??????B???0?B???A???????2) ??B?A?A?A ??E?????E????0???(E?)?0?E???????t?t?t?t????A将E?????及

?t???D??0E代入??D??f得：

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?t2??????将B???A及B??0H1????D代入??H?Jf?得：

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