电动力学习题集答案-1(4)

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参考题：

1. 半径为R0的接地导体球外充满绝缘介质，离球心为

?变量法,求导体球外的电势?e.2) 球面?R?R0?处的自由电荷面密度?a处?a?R0?置一点电荷Q。1）试用分离

f及束缚电荷面密度?P.提

1示：?r1R?a?2Racos?22??n?0?RnPn(cos?)an?1?R?a?

PRPr'QR0?r'OrQrbz?OQ'abQ'za1）分离变量法

??令

?????? ??Q4??R?a?2Racos??2?'?0?0,?222??'

R0R???0??'R???0

Q4??R?a?2Racos?2??bnR?(n?1)Pn(cos?)nR?R0(1)

1??r1R2?a2?2Racos???n?0?RnP(cos?)n?1na?R?a?

注意：这一表达式并不是对任何R成立，仅在

?R?a?时，才能如此展开.

a?R?R0

Q?Rn?(n?1)???P(cos?)?bRPn(cos?)??nnn?14??n?0an由?R0?0，得

nQ?R0?(n?1)???P(cos?)?bRPn(cos?)?0??n0n?1n4??n?0an?R0?a?- 15 -

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2n?1QR0?bn??4??an?1 将其代入（1）得

R02n?1?(n?1)Q????RPn(cos?)?n?1224??R?a?2Racos?4??naQ??Q4??R?a?2Racos?Q4??R2?a2?2Racos?22R?R0??QR0/a?4??n?R?20/aRn?1?2nPn(cos?)

QR0/a4??R2?R02/a?2RR02/acos?f?2??2). 球面?R?R0?处的自由电荷面密度?及束缚电荷面密度?P.

?f???????RR?R0

4?R02?a2?2R0acos??QR0?acos????3/2?R0QR0?bcos???3/2223???R0?R02???4?aR0???2cos??a???a?????4?R02?a2?2R0acos??QR0?acos????3/2???R02?aR0Q?R0?cos???a??24?Ra?R?2R0acos?30?220?3/2???a2?Q?R0?acos???acos???R0??4?R?a?2R0acos?R?R0?202?3/2??4?R0R?a?2R0acos??Qa2?R02202??

?3/2

?P?P1R?P2R??????0?E2R导体内P1R?0???????0??R????1?0??Qa2?R02???4?R0R02?a2?2R0acos?????3/22. 一个不带电的空心导体球壳的内外半径为R1和R2,在壳内离球心为

解: （1）. 由高斯定理可知，球内表面的电量为

a?a?R?处置一点电荷

1Q．(1)求空间各点的电势分布．(2)导体球上内、外表面的感应电荷面密度.

?Q，球外表面的电量为Q

球内电荷的位置对球外的电势无影响，这样，

RQ???R?R2??4??R ?QR2?R?R1????4??R2?但点电荷Q与球内表面上的感应电荷

R1R2Qz?QQQ' b a ?Q必须使内表面上电势保持为0.

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2RR1若在球外距球心为b?处放一镜像电荷Q'??1Q， aa2?b?R1/a2R1/aRb?（说明：??Q'??Q??Q??1Q）代替球内表面上的R1R1R1aQ'?Q??b?感应电荷，则可以使球面R1上的电势保持为0。则所有电荷在R?R1空间产生的电势为

?i??i??Q4??0rQ?Q'4??0r'?Q

4??R2R1Q4??0aR2?b2?2Rbcos?QR1/a?Q4??R2?Q4??R2

4??0R2?a2?2Racos?Q??4??0R2?a2?2Racos?4??0R2?R12/a??2?2RR12/acos???(2). 导体球上内表面的感应电荷面密度.?f?D2n?D1n?0?D1n??0??i?RR?R1

?f?4?R12?a2?2R1acos??Q?R1?acos???3/2?R1Q?R1?bcos??223????RR211??4?a?R1???2cos??a???a????3/2

?4?R12?a2?2R1acos??Q?R1?acos???3/2??R12?aR1Q?R?cos??1a????4?R13R12?a2?2R1acos?2??3/2??a2?Q?R1?acos???acos???R1QR12?a2?????3/2224?R1?a?2R1acos?4?R1R12?a2?2R1acos?

??????3/2 导体球上外表面的感应电荷面密度. ?f?Q24?R2 3. 半径为R0的接地导体球外,充满绝缘介质?Z,离球心为a处题三图- 17 -

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?a?R0?置一点电荷Qf.1）试求导体球外的电势?e.2)球面?R?R0?处的自由电荷面密度?f电荷面密度?P. 解: 采用镜像法

2RR01）若在球内距球心为b? 处放一镜像电荷Q'??0Q,代替球面上的感应电荷,则可以使aa及束缚

球面上的电势保持为0.则Q和Q'在r?R0空间产生的电势为

??Q4??r?Q'4??r'

这里r?R2?a2?2Racos?, r'?R2?b2?2Rbcos?

??Q4??R?a?2Racos?22?R0Q4??aR?b?2Rbcos?22

?Q4??R?a?2Racos?22?2QR0/a4??R?R/a?2RR/acos?f?20?2?20??

(3) 球面?R?R0?处的自由电荷面密度?及束缚电荷面密度?P.

?f??????RR?R0?4?R02?a2?2R0acos??QR0?acos????3/2?R0QR0?bcos??4?a?R02???R02???a??

3/223??R0???2cos???a???f?4?R?a?2R0acos??QR0?acos?202???3/2???R02?aR0Q?R?cos??0?a??234?R0a2?R02?2R0acos???3/2???a2?Q?R?acos???acos??0?R0??4?R02?a2?2R0acos???3/2??4?R0R02?a2?2R0acos?R?R0?Qa2?R02???3/2?P?P1R?P2R??????0?E2R???????0??RQa2?R02??0???1?????4?R0R02?a2?2R0acos?????3/2

4. 磁导率为?的均匀磁介质充满整个空间，且介质中的磁感应强度为B.如果在介质中挖去半径为R

??解:由于本题全空间无传导电流，故可采用磁标势解题，H????m.设内、外磁标势满足为

?m1,?m2,他们满足

的介质球,求球内外的磁感应强度．

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??2?m1?0?2???m2?0由题意,边界条件为:

r?Rr?R(1)(2);

??m1R??m2R???m2???m1???0??rR?r?自然边界条件为:

(3)R(4),

??m1????m2?r?0r???有限B??rcos?(5)(6)

?由条件（5）和（6）得

??m1???anrnPn(cos?)n?0??B??(n?1)???rcos??brPn(cos?)?n?m2n?0??

由（3）得

r?Rr?R(7)(8)

?B?Rcos???n?0bnR?(n?1)Pn(cos?)??n?0anRnPn(cos?)??

?Bb1??(n?1)n???R?cos??bRP(cos?)?aRcos??aRPn(cos?) ??nn1n2???R?n?1n?1?b1?B??R?2?a1R???R?(n?1)n??Rb?Ran?0n?

由（4）得

n?1n?1(9a)(10a)

?Bcos????bn(n?1)R?(n?2)Pn(cos?)??0?annRn?1Pn(cos?)

nn2?b???B?31??0a1??R?(n?2)n?1??(n?1)Rb??nRan?0n0? 由（10）得，n?1?

n?1n?1(9b)(10b) ，

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