电动力学习题集答案-1(2)

???????????????????''???[J(x',t)x']?[??J(x',t)]x'?J(x',t)?(ii?jj?kk)?[??J(x',t)]x'?J(x',t)???????dp(x',t)'??????[J(x',t)x']dV'??J(x',t)dV'VVdt?????'???ds?[J(x',t)x']??J(x',t)dV'VV????????J(x',t)dV'(?J(x',t)?ds'?Jn(x',t)ds'?0)'V长 沙 理 工 大 学 备 课 纸

??四、 对于稳恒磁场,在某均匀非铁磁介质内部, 磁化电流密度为JM,自由电流密度为Jf????试证明JM与Jf间的关系为JM???/?0?1?Jf.

,磁导率?,

???1?11??1??证明：JM???M??????????B???????????H

?0??0???????????????1??H??1??????Jf

00????

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第二章 静电场

练习一

1. 有导体存在时的唯一性定理是说: 若给出介质中自由电荷的分布,给定每个导体上的__电势

??i__或每个导体上的__总电荷Qi _,以及（包围所有导体的）界面S上?s或??ns,则S内静电

场E被唯一确定.

2. 无导体存在时的静电学问题的唯一性定理为: 设空间区域V可以分为若干小区域Vi,每个小区

域Vi充满均匀介质?i,若给出V内自由电荷的分布,同时给出V的界面S上的______或_______,则V内静电场E被唯一确定. ?或??

s?ns??练习二

?1. 半径为R0的接地导体球置于均匀外电场E0中,导体球外为真空.试用分离变量法,求导体球外的

电势、场强和导体球面上的自由电荷面密度?. 解: 1.求电势

设未放导体球时，球心处原有电势为0，则有

2?????0 ???0,???ERcos?0?R0R??? ?(R)???anRn?bnR?(n?1)?Pn(cos?)R?R0 由?R??n????E0?x??E0Rcos?

anRnP?)??E0Rcos? n(cosn?比较方程两边的系数得：a1??E0,an?0(n?1)。

??(R)??E0Rcos???bnR?(n?1)Pn(cos?)nR?R0

??R0?0，??E0R0cos???nbnR0?(n?1)Pn(cos?)?0

3, ?E0R0?b12?0?b1?E0R0bn?0(n?1)，

R0ER?(R)??E0Rcos??020cos?R3?R?R0?

不难看出，第一项是匀强电场产生的势。第二项是球面上非均匀分布的电荷（电偶极子）产生的势，； 2) 电荷分布

3??2E0R0?f???0???0(?E0cos??cos?)R?R?3?0E0cos? 3?RR0R03)球外场强

??R03???(R)??E0?R?3E0?RR?R?R0?- 6 -

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?????????????????????E0?R?E0?R3E0?R?RE0?3333E0?RR??? E??????E0?R?R0??3??E0?R0????3???E0?R0?345?RRR????R????R????????3??R0??E0?33E0cos?er?E0R??????ez?cos?er?sin?e?

故上式也能写为

3333?R0R03E0R0?3E0R0????E?(1?3)E0ez?cos?e?(1?)E(cos?e?sin?e)?cos?er0r?rRR3R3R3

332R0R???(1?3)E0cos?er?(1?03)E0sin?e?RR?2. 半径为R0、电势为?0的导体球（其与地间接有电池）置于均匀外电场E0中,球外真空, 试用

分离变量法,求电势、导体面上的电荷面密度及场强. 解: 1.电势

设未放导体球时，球心处原有电势为?0，则有

2?????0????0,???R0R????0?E0Rcos?

上式的通解为 ?(R)??anRn?bnR?(n?1)P?)n(cos由 ?得

R????R?R0

??n??0?E0?x??0?E0Rcos?

?nanRnP?)??0?E0Rcos? n(cos比较方程两边的系数得：a0??0,a1??E0,an?0(n?0,1)。

R?R0

??(R)??0?E0Rcos???bnR?(n?1)Pn(cos?)n??R0??0

?(n?1)??0?E0R0cos???bnR0nPn(cos?)??0

?0?b0b??0,?E0R0?12?0, bn?0(n?0,1)， R0R033 ?b0?(?0??0)R0,b1?E0R0

(?0??0)R0ER??(R)??0?E0Rcos???020cos?RR?R?R0?

因此，不难看出，第一、二项是匀强电场产生的势，第三项是球面上均匀分布的电荷产生的势，第

四项是球面上非均匀分布的电荷（电偶极子）产生的势。 2) 电荷分布

??(???)R2ER?f???0???0(?E0cos??0200?030cos?)?RR0RR3)球外场强

3R?R0?3?0E0cos???0(?0??0)

R0??(?0??0)R0R03???(R)??0?E0?R??3E0?RRR?R?R0?

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????????????(?0??0)R0R?????E?R(???)RR?E?R3E33000000?R?R ??E??????E0?R??R??E??R???000??R3?R3R3R3R4????????????????3?????(?0??0)R0R3E?RRE(???)RRR0?300000 ???E0??R??E??3Ecos?e?E0?00r053?33R3RRRR???????33?(?0??0)R0R2R0R0??或E???(1?)Ecos?e?(1?)Esin?e0r0?

R3R3R33、半径为R的空心带电球面，面电荷密度为?f??0cos?（?0为常量）,球外充满介电常数为?的均匀介质，求球内外的电势、场强.

解: （1）因球内外电荷密度均为0，故有

???1?0?2???2?02Bz?r?Rr?R(1); (2)r由题意,边界条件为:

??1R??2R???1???2???0??r?rR?(3)???0cos?R??0真空?1?2(4)?有限?0；

???自然边界条件为:?1???2r?0r??(5)(6)

由条件（5）和（6）得 ?n???1??n?0anrPn(cos?)???(n?1)??brPn(cos?)??2nn?0?由（3）得

r?Rr?R(7)(8)

??n?0bnR?(n?1)Pn(cos?)??n?0anRnPn(cos?)?b1cos???bnR?(n?1)Pn(cos?)?a1Rcos???anRnPn(cos?) 2Rn?1n?1?b1/R2?a1R???(n?1)bn?Rnan?0??Rn?1n?1(9a)(10a)

由（4）得

???bn(n?1)R?(n?2)Pn(cos?)??0?annRn?1Pn(cos?)???0cos?

nn?2?b1???0a1??0??R3?(n?2)?bn??0nRn?1an?0??(n?1)R 由（10）得，n?1?

n?1n?1(9b)(10b) ，

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??R?(n?1)bn?Rnan?0?R?(n?1)???(n?2)n?1?(n?1)Rb??nRa?0?(n?1)R?(n?2)n0n?Rn?0nRn?1???(n?1)??0nR2?0

?当n?1时，有an?bn?0

由（9）得，当n?0?a??b1?a1R31?2???0 ??1时，有???2?b1??0?3??0a1?b??0R3?1R??2???0?故解为

???0rcos??0r?ez??1?a1rP1(cos?)??r?R?2???2????00 ?3??3??Rr?eRcos?00z??2??r?R23?2???02???0rr????0?(r?ez)?0?????E????????e?e?cos?e?sin?e11zzr??2???02???0???0??或E??(cos?e?sin?er?R?1r?)2???0? ???????????333??R?R?(r?ez)3(r?ez)r?0R3(r?ez)rez?r?e??E2????2??0??3z???0[?]?[?3]2???0?r?2???02???0r3r5r5r???????333cos?ecos?e?sin?e2cos?e?sin?e?R?Rrr?r?0?或E?0[?]?r?R2333?2???02???0rrr?3. 在两个互相垂直的接地导体平面所围成的直角空间内有一点电荷Q,它到两个平面的距离为

a和b,其坐标为(a,b,0),那么当用镜像法求空间的电势时,其镜像电荷的数目为______,这

时所围成的直角空间内任意点(x,3,Q4??0?(1y,z)的电势为______.

12?2??x?a?2??y?b?2?z21???x?a?2??y?b?2?z2

1?x?a?2??y?b?2?z2?x?a?2??y?b?2?z2)0

0

x??r4. 两个无穷大的接地导体平面分别组成一个?为45、60、

900两面角，在两面角内与两导体平面等距离处置一点电荷Q,则在这三种情形下，像电荷的个数分别为 _7, 5, 3_. 解：为使两导体平面的电势为0，必须每隔2?放置一对异号境像电荷，且在x??r处,必须放置一对,这样在3600的圆周上必须放置360?2个电荷,其中境像电荷为360?1.

?2?00?x2?2?5. 一电量为q的点电荷在两平行接地导体平面中间，离两板距离均为a，则像电荷的个数为

_______. 答：无穷多个

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