电动力学习题集答案-1(5)

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??R?(n?1)bn?Rnan?0?R?(n?1)???(n?2)n?1?(n?2)?(n?1)Rb??nRa?0?(n?1)Rn0n? ?当nRn?0nRn?1??(n?1)??0nR2?0?1时，有an?bn?0

由（9）得

当n?1时，有(2分)

?b1b1??B?R??aR?3?b1?B???a11??3????R2R????R3?(???0)a1??2?b1??B?2?b1??0a1??B????a??3B?(2???0)a10133??R?R?3B?a??1?(2???0)??3

(???)BR0?b1????(2???0)?故解为

???3Brcos?3B?r??arP(cos?)?????m111(2???0)(2???0)?BBrcos?(???0)BR3cos???2?1(cos?)????m2???rcos??b1rP??(2???0)r2???33???(???0)RB?r(???0)RB1??(r?)cos???(B?r?)?23?(2???0)r?(2???0)r?

r?R

r?R????3?0?(B?r)3?0B??B1??0H1???0??m1?(2???0)(2???0)??????3??(???0)R?(B?r)3(B?r)r?B??H??????B?[?]2m2?235(2???0)rr????????(???0)R3B3(B?r)r?B?[3?]?5(2???0)rr? 5.

r?R

r?R?半径为R的空心球外充满介电常数为?的均匀电介质，该体系处于均匀外电场E0中，取球心为坐

?标原点，E0沿z轴方向。试用分离变量法求球内外的电场强度。

解: 由于本题无自由电荷，内、外电势满足

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??2?1?0?2???2?0由题意,边界条件为:

r?Rr?R(1); (2)(3)E0,

??1R??2R???2???1???0??rR?r?

自然边界条件为:

z??2rR(4)?真空?0(5)(6)?1

???1????2r?0r???有限??E0rcos?由条件（5）和（6）得

?n???ar?1?n?0nPn(cos?)???(n?1)???Ercos??brPn(cos?)??0nn?0?2r?Rr?R(7)(8)

由（3）得

?E0Rcos???n?0bnR?(n?1)Pn(cos?)??n?0anRnPn(cos?)b???(n?1)Pn(cos?)?a1Rcos???anRnPn(cos?) ??E0R?12?cos???bnRR??n?1n?1??

b1???ER?2?a1R??0R?(n?1)n??Rb?Ran?0n?由（4）得

n?1n?1(9a)(10a)

?E0?cos????bn(n?1)R?(n?2)Pn(cos?)??0?annRn?1Pn(cos?)

nn2?b????E0?31??0a1??R?(n?2)n?1??(n?1)Rb??nRan?0n0? 由（10）得，n?1?

n?1n?1(9b)(10b) ，

??R?(n?1)bn?Rnan?0?R?(n?1)Rn?(n?1)??0n????0?2?(n?2)n?1?(n?2)n?1Rbn??0nRan?0?(n?1)R?0nR??(n?1)R ?当n?1时，有an?bn?0 (1分) 由（9）得，当n?1时，有

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3??b1b1??a??E01?3?b1???E0R?R2?a1R??E0?R3?a1(2???0)???(???0)a1 ????R3???32?b12?b1(???)R0???E0?3??0a1???E0?3??0a1?E0??3?E0?(2???0)a1?b1??RR???(2???)0?故解为

??3?3???1?a1rP1(cos?)??E0rcos???E0?r?(2???0)(2???0)????(???0)R3???2??2??E0rcos??b1rP1(cos?)??E0?r?E0?r3?(2???0)r???3?3????E1????1??(E0?r)?E0?2???2????00?????????33??(???0)RE?r(???0)RE03(E0?r)r?E2????2??(E0?r)??03?E0?[3?]5?2???02???0rrr?r?R

r?Rr?R

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电动力第四章习题及其答案

1. 一金属壁谐振腔，长宽高分别为a,b,c,且满足a?b?c,腔中为真空；则腔中所激发的最低频率

的谐振波模为 (1,1,0),与之相应的电磁波波长为2/11. ?22ab 提示：用?mnp?2?cp21/2p21/2?m2n2m2n2，分析 ??[()?()?()]??c[()?()?()]mnp?mnpL2L3abc??L12. 矩形波导管，管内为真空，管截面积s一定，矩形的长和宽分别记为a和b。要使（1，1）模具

有最小的截至频率?c，则a或b的表达式为_____________.

答：kx?ky?kz?k2?kz?k2?kx?ky?0?k2?kx?ky，

22222222m???n??? ??????????????a??b???22222?m??n??m??n??????????c????? ?a??b??a??b?2222?m??n????c????? （m,n?0,1,2,...）

?a??b?(0)截止频率为：?mn????mn()2?()2，若s?ab,m?n?1，则有 ab?c??cd?cda1a2?b12??sca2?b2??sca2?s2/a2,23222??cs(2a?2s/a)/a?s/a?0

?a?s3．一矩形波导管，管内为真空，管截面矩形的长和宽分别为a和b,且a > b,要使角频率为?的TE10波能在管中传播，a应满足a??2?c??s?s/s??sc2s??c2/s 时，有极小值csc/?.

解： ???????m??n?，TE对应于m?1,n?0，?????10?a??b?22????c/a?a??c/?

???4．在均匀介质中传播的平面单色波是横波,其E和B相互垂直且都__垂直___于波的传播方向,E????和B的相位__相同___, E?B沿着波矢k的方向.

5．某试验室需要能传输频率为f?5?109Hz的TE11型微波，实验室有如下几种尺寸的矩形波导管（长度单位为厘米）：(a)2?6,(b)4?5,(c)3?8,(d)4?8.问那几种尺寸波导管可供选择 （b）,(d).

m??n?解：???c?????? （m?1,n?1） ?a??b?22- 23 -

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a2?b22f2?5?1091?1??1??2?f??c??????????10ababc33?10????22a2?b21? （以cm为单位） ab3a2?b222?6240161(a)2?6?????,ab1212123a2?b242?52413413694001(b)4?5???????,ab20206060603 a2?b232?827373/641(c)3?8?????,ab243?833a2?b242?8280545641(d)4?8???????.ab324?8824243???E(x,t)?5． 试从Maxwell方程组出发,证明在真空中传播的时谐电磁波????B(x,t)???????2E(x)?k2E(x)?0????k????0?0). 方程组???E(x)?0确定(其中

????c?B(x)?[??E(x)]/(i?)????i?tE(x)e???i?t的空间部分,可由B(x)e证明：1) 证明亥姆霍兹方程

????B??E?????t? ????D???H?J?f??t?

??????B?H???H???0由??E?? ?????E???0 ?t?t?t??D??0E,?????B???E??J?0,??0??D??fff???t??? ???D???H???B?0??t????D?0???B?0

??B??0H

?????2???E???E??2E???0?02?t???2?11?E2c??0 则有 ?E?2 2c?t?0?0?????i?t?????i?tE(x,t)?E(x)e,B(x,t)?B(x)e ?2???i?t?E2???E(x)e 2?t2??????D?E?????E?0,???H?? ??0??t?t??????2???????22?E(x)?2E(x)?0??E(x)?kE(x)?0,k????0?0

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