2012考研数学必看：很详细的考研数学全程辅导书选择及复习规划 -(8)

x3?x2?1(sinx?cosx)=0. limx???2x?x31,则y(n)(0)= . 2x?312nn【答案】 应填(?1)n!().

33特训题98、设函数y?【详解】 y?(2x?3)?1, y???1?2(2x??223??,????3)y1(?2)2?x(?2

3) 一般地， y(n)?(?1)nn!?2n(2x?3)?n?1， 从而 y(n)(0)=(?1)n!().

特训题99、设函数y = y(x)由方程ylny?x?y?0确定, 试判断曲线y = y(x)在点(1, 1)附近的凹凸性. 【分析】 由凹凸性判别方法和隐函数的求导即得. 【详解1】在ylny?x?y?0两边对x求导得 y?lny?2y??1?0 解得 y??13n23n1

lny?2?1?y?1y两边对x再求导得 y??? . ??23(lny?2)y(lny?2)将x=1, y =1 代入得 y????1 81由于二阶导函数y??在x=1的附近是连续函数, 所以由y????, 可知在x=1的附近有y??<0, 故曲线y = y(x)在点(1,

81)附近是凸的.

【详解2】 在ylny?x?y?0两边对x求导得

y?lny?2y??1?0 两边对x再求导得 y??lny?y??将x=1, y =1 代入得上两式得 y??1y??2y???0 y11, y???? 281由于二阶导函数y??在x=1的附近是连续函数, 所以由y????, 可知在x=1的附近有y??<0, 故曲线y = y(x)在点(1, 1)附

8近是凸的.

【详解3】 将x 看作y的函数, 在ylny?x?y?0两边对y求导得 x??lny?y?1?1?lny?2 y

两边再对y求导得 x???1 y将x=1, y =1 代入得式得 x???1. 因为二阶导函数x??在y=1的附近是连续函数, 所以由x???1可知在y=1的附近有x??>0, 由此可知曲线x = x (y)在点(1, 1)附近是凹的, 故曲线y = y(x)在点(1, 1)附近是凸的.

特训题100、设函数f(x), g(x)在[a, b]上连续，在(a, b)内具有二阶导数且存在相等的最大值，f(a)=g(a), f(b)=g(b), 证明：存在??(a,b)，使得f??(?)?g??(?).

【分析】需要证明的结论与导数有关，自然联想到用微分中值定理，事实上，若令F(x)?f(x)?g(x)，则问题转化为证明F??(?)?0, 只需对F?(x)用罗尔定理，关键是找到F?(x)的端点函数值相等的区间(特别是两个一阶导数同时为零的点)，而利用F(a)=F(b)=0, 若能再找一点c?(a,b)，使得F(c)?0，则在区间[a,c],[c,b]上两次利用罗尔定理有一阶导函数相等的两点，再对F?(x)用罗尔定理即可。

【证明】构造辅助函数F(x)?f(x)?g(x)，由题设有F(a)=F(b)=0. 又f(x), g(x)在(a, b)内具有相等的最大值, 不妨设存在x1?x2, x1,x2?(a,b)使得

f(x1)?M?maxf(x),g(x2)?M?maxg(x)，

[a,b][a,b]若x1?x2，令c?x1, 则F(c)?0.

若x1?x2，因F(x1)?f(x1)?g(x1)?0,F(x2)?f(x2)?g(x2)?0，从而存在

c?[x1,x2]?(a,b)，使F(c)?0.

在区间[a,c],[c,b]上分别利用罗尔定理知，存在?1?(a,c),?2?(c,b)，使得

F?(?1)?F?(?2)?0.

再对F?(x)在区间[?1,?2]上应用罗尔定理，知存在??(?1,?2)?(a,b)，有

F??(?)?0， 即 f??(?)?g???().