2012考研数学必看：很详细的考研数学全程辅导书选择及复习规划 -(3)

f(?2?0)?f(?2?0)?limx??2x(x?2)??

x(x?2)(x?2)故x??2是第二类间断点，且为无穷间断点. 对于x?2，由于

f(2?0)?f(2?0)?lim?x?2x(x?2)1?

x(x?2)(x?2)41，则f?x?在x?2连续. 4故x?2是第一类间断点，且为可去间断点.若补充定义f(2)?特训题33、 设f(x)在(??,??)内有定义，且limf(x)?a

x????1??f?　 x?0

g(x)???x???0 x?0?则下列结论中正确的是（ ） (A) x?0必是g(x)的第一类间断点 (B) x?0必是g(x)的第二类间断点 (C) x?0必是g(x)的连续点

(D) g(x)在x?0处的连续性与a的取值有关 解 limg(x)?limf?x?0x?0?1?f(t)?a ??tlim???x?∴a?0时x?0是g(x)的连续点，a?0时，x?0是g(x)的可去间断点故选D.

特训题34、 求limarctan?x?0?sinx??. ?x?解 因lim

sinx?1，而函数y?arctanu在点u?1连续，所以

x?0xsinx???sinx?? limarctan?＝arctanlim?arctan1????x?04?x??x?0x?特训题35、 设f(x)在x=2处连续，且f(2)?3，求limf(x)?x?24??1. ?2?x?2x?4??解 由于f(x)在x=2处连续，且f(2)?3，所以limf(x)?3

x?2则limf(x)?x?24?(x?2)?41?1 ?2=limf(x)?limf(x)??2x?2x?2x?2x?4?x?2x?4?13?

x?2x?24＝limf(x)?limx?2

特训题36、 设f(x)在[a，b]上连续，且f(a)?a，f(b)?b，证明：f(x)?x在(a，b)内至少有一个根. 证 令g(x)?f(x)?x，可知g(x)在[a，b]上连续，

g(a)?f(a)?a?0 g(b)?f(b)?b?0

由介值定理的推论，可知g(x)在(a，b)内至少有一个零点，即f(x)?x在(a，b)内至少有一个根. 特训题37、 求证：方程e?ex?x?4?cosx在(??,??)内恰有两个根.

证 令f(x)?ex?e?x?cosx?4，它是偶函数，所以只需讨论f(x)在(0,??)内恰有一个根.

f(0)??3?0，f(2)?e2?e?2?cos2?4?0

f(x)在?0,2?上连续，根据介值定理推论，至少有一个??(0,2)，使f(?)?0.

又因为f?(x)?ex?e?x?sinx?0?x?0?，所以f(x)在(0,??)内单调增加，因此，f(x)在(0,??)内最多只有一个零点，于是f(x)在(0,??)内恰有一个零点，由偶函数的对称性，f(x)在(??,??)内恰有两个零点，也即所给方程在(??,??)内恰有两个根.

特训题38、 设f?x???x?a?g?x?，其中g?x?在点a处连续，求f??a?。 解 ?没有假设g?x?可导，所以不能用导数的乘法公式，我们就用导数的定义

f??a??limx?af?x??f?a??x?a?g?x??0

?limx?ax?ax?a =ligm?x??g?a?。

x?a特训题39、 曲线sin?xy??ln?y?x??x在点?0,1?处的切线方程为?????????????????. 解：y?x?1.

?1?1Fxy?x?分析：设F(x,y)?sin(xy)?ln(y?x)?x，斜率k??，在(0,1)处，k?1，所以切线

1Fyxcos(xy)?y?xycos(xy)?方程为y?1?x，即y?x?1

特训题40、 讨论函数

??x　 x?0　 y?f?x??x??x　 x?0?

在x0?0处连续性与可导性。

解 函数y?f?x??x在x0?0处连续，因为f?0??0

xlim?0?f?x??limx?0?f??x??0 xlim?0?f?x??xlim?0?x?0 则 limx?0x?f?0??0

但是，在x0?0处f?x?没有导数，因为

f???0???y0??x?0?limx?0??x??lim x?0??x ??x?limx?0??x??lim??xx?0??x??1 f?y???0???lim??x?lim0??x?0x?0??x ?x?0??x?limx?0??x??x?limx?0??x?1

f???0??f???0?曲线y?x在原点的切线不存在（见上图）。特训题41、 设函数

f?x????x2　　　　?ax?b　　　试确定a、b的值，使f?x?在点x?1处可导。 解?可导一定连续，?f?x?在x?1处也是连续的，

由 f?1?0??limf?x??limx2x?1?x?1??1 f?1?0??limx?1?f?x??limx?1??ax?b??a?b 要使f?x?在点x?1处连续，必须有a?b?1或b?1?a

?limf?x??f?1?x2又f???1?x?1?x?1?lim?1x?1?x?1?limx?1??x?1??2 x?1x?1 　

f???1??lim?x?1f?x??f?1?a?x?1?ax?b?1?lim?lim?a ??x?1x?1x?1x?1x?1要使f?x?在点x?1处可导，必须f???1??f???1?，即2?a 故当a?2，b?1?a?1?2??1时，f?x?在点x?1处可导。 特训题42、求下列函数的导数：

2222（1）y?1?xln(x?1?x) （2）y?cotx?arccos1?x 解 （1）y?????1?x2lnx?1?x2?1?x2lnx?1?x2

2????????＝x1?x2lnx?1?x???1x?1?x??1??2??x?1?x1?x2??2?? ??????＝x1?x2lnx?1?x2?1

??（2）y??cotx?arccos1?x?2???2??

＝?2cotxcsc2x?11?1?x2?(?x)1?x2 ?2cosxx＝????sin3xx1?x2?（1）y?ex2?? ??lnx?cotx

sinx特训题43、 求下列函数的微分

sinx （2）y?x2x2x2cosxx2解 （1）dy?sinxde?edsinx?2xesinxdx??edx

2x?cosx??e??2xsinx?2x??dx

??x2（2）dy?sinxd(lnx?cotx)?(lnx?cotx)dsinx 2(sinx)1?12??cscx?dx?cosx(lnx?cotx)dx ?sinx?x??1??csc3x?cosxlnx?cosxcotx?dx

?xsinx?＝

＝?特训题44、 设f(x)?x(x?1)(x?2)?(x?100)，求f?(50).

?解 令 g(x)x(?x1)?x(?2)?x(4??x9)(?5x 1

则 f(x)?(x?50)g(x) 因此 f?(x)?g(x)?(x?50)g?(x)

f?(50)?g(50)?(50!)(?1)50(50!)?(50!)2

特训题45、 设f(x)可微，y?f(lnx)ef(x)，求dy. 解 dy?f(lnx)def(x)?ef(x)df(lnx)

f(x)f(lnx)dx?＝f?(x)e1f?(lnx)ef(x)dx x＝ef(x)?f?(x)f(lnx)???1?f?(lnx)?dx x?dxdy特训题46、设y?y(x)由方程arctan(x2?y2)?yex所确定，求和dy.

解一 对方程两边关于x求导，y看作x的函数，按中间变量处理.

11?x2?y2??(2x?2yy?)?y?e2x?y2xex ?2yy???1?x2?y2????2?y?ex???2xe??x?2x1?x?y?22?2

y2xy??ex?2x1?x?y?22?22y1?x?yye?22?2?ex?1?x2?y22??4xx?????

222?x4yx?2x?1?x?ye????yex?????1?x2?y22??4xx????dx 于是，dy?222?x4yx?2x?1?x?ye????x????解二 对方程两边求微分，根据一阶微分形式不变性.

22??yex? d?arctan(x?y)?d??????122xdx?y?edy?yde2221?x?y????x 21?x2?y2??xdx?ydy??e2?xdy?y2xexdx

?2y??1?x2?y2????2???ye?ex?dy???2x????x??dx? 2?221?x?y??2x??