2012考研数学必看：很详细的考研数学全程辅导书选择及复习规划 -(6)

eax?x2?ax?1aeax?2x?a2?4lim?2a?4. =4lim2?x?0?x?02xx2令f(0?0)?f(0?0)，有 ?6a?2a?4，得a??1或a??2.

当a=-1时，limf(x)?6?f(0)，即f(x)在x=0处连续.

x?0当a=-2时，limf(x)?12?f(0)，因而x=0是f(x)的可去间断点.

x?0【评注】 本题为基本题型，考查了极限、连续与间断等多个知识点，其中左右极限的计算有一定难度，在计算过程中应尽量利用无穷小量的等价代换进行简化.

?x?1?2t2,2dy?u1?2lnte(t?1)所确定，求2特训题76、设函数y=y(x)由参数方程?y??dudx?1u?x?9.

【分析】 本题为参数方程求二阶导数，按参数方程求导的公式进行计算即可. 注意当x=9 时，可相应地确定参数t

的取值.

dxdye1?2lnt22et?4t， ???【详解】由，dtdt1?2lntt1?2lntdy2etdydt1?2lnte得 ???,

dxdx4t2(1?2lnt)dtd2yddy1e?121?()所以 =??? dx2dtdxdx2(1?2lnt)2t4tdt =?e. 224t(1?2lnt)2当x=9时，由x?1?2t及t>1得t=2, 故

d2y

dx2x?9??e4t2(1?2lnt)2t?2??e. 216(1?2ln2)特训题77、设f(x)?lim(n?1)x, 则f(x)的间断点为x? .

n??nx2?1【分析】本题属于确定由极限定义的函数的连续性与间断点.对不同的x,先用求极限的方法得出f(x)的表达式, 再讨论f(x)的间断点.

【详解】显然当x?0时,f(x)?0;

1(1?)x(n?1)xn?x?1, 当x?0时, f(x)?lim?lim2n??nx2?1n??1xx2x?n

?0,x?0?所以 f(x)??1,

,x?0??x因为 limf(x)?limx?01???f(0) x?0x故 x?0为f(x)的间断点.

3??x?t?3t?1特训题78、设函数y(x)由参数方程 ? 确定, 则曲线y?y(x)向上凸的x取值范围为

3??y?t?3t?1______________________

【分析】判别由参数方程定义的曲线的凹凸性，先用由 ??x?x(t)

?y?y(t)d2yd2yy??(t)x?(t)?x??(t)y?(t)定义的 求出二阶导数,再由 2?0 确定x的取值范围. ?dxdx2(x?(t))3dydy3t2?3t2?12dt【详解】 , ??2?2?1?2dxdx3t?3t?1t?1dtd2yd?dy?dt?2??14t??1??? , ????22223dt?dx?dx?t?1?3(t?1)3(t?1)dxd2y?0 ? t?0. 令

dx23又 x?t?3t?1 单调增, 在 t?0时, x?(??,1)。(?t?0时，x?1?x?(??,1]时，曲线凸.)

特训题79、把x?0时的无穷小量??一个的高阶无穷小, 则正确的排列次序是

??0xcostdt, ???2x20tantdt, ???x0sint3dt排列起来, 使排在后面的是前

（A）?,?,?. （B）?,?,?.

（C）?,?,?. （D）?,?,?. （ ）

【分析】对与变限积分有关的极限问题，一般可利用洛必塔法则实现对变限积分的求导并结合无穷小代换求解.

【详解】 ?lim?x?0?0? ?limx2x?0?costdt?xsint3dt?0sinx? ?lim?x?03212x cosx2 ?lim?x?0xx?lim?0, ?x?022x32

即 ??o(?).

??lim又 limx?0?x?0??x20?tanx?2x2x2?lim?lim?0, 3??xx?0x?0131xsinx2??0sintdt22xtantdt即 ??o(?).

从而按要求排列的顺序为?、?、?, 故选（B）. 特训题80、设f(x)?x(1?x), 则

（A）x?0是f(x)的极值点, 但(0,0)不是曲线y?f(x)的拐点. （B）x?0不是f(x)的极值点, 但(0,0)是曲线y?f(x)的拐点. （C）x?0是f(x)的极值点, 且(0,0)是曲线y?f(x)的拐点.

（D）x?0不是f(x)的极值点, (0,0)也不是曲线y?f(x)的拐点. （ ） 【分析】求分段函数的极值点与拐点， 按要求只需讨论x?0两方f?(x), f??(x)的符号.

??x(1?x),?1?x?0【详解】 f(x)??,

x(1?x),0?x?1? f?(x)????1?2x,?1?x?0,

0?x?1?1?2x,?1?x?0,

0?x?1?2,?? f(x)????2,从而?1?x?0时, f(x)凹, 1?x?0时, f(x)凸, 于是(0,0)为拐点.

1时, f(x)?0, 从而x?0为极小值点. 又f(0)?0, x?0、所以, x?0是极值点, (0,0)是曲线y?f(x)的拐点, 故选（C）. 特训题81、设函数f(x)连续, 且f?(0)?0, 则存在??0, 使得

（A）f(x)在(0,?)内单调增加. （B）f(x)在(??,0)内单调减小. （C）对任意的x?(0,?)有f(x)?f(0).

（D）对任意的x?(??,0)有f(x)?f(0). ( ) 【分析】可借助于导数的定义及极限的性质讨论函数f(x)在x?0附近的局部性质. 【详解】由导数的定义知

f?(0)?limx?0f(x)?f(0)?0,

x?0由极限的性质, ???0, 使x??时, 有

f(x)?f(0)?0

x即??x?0时, f(x)?f(0)，

0时, f(x)?f(0), ???x?故选（C）.

1特训题82、求极限lim3x?0x【分析】此极限属于

??2?cosx?x?????1?.

3??????0型未定式.可利用罗必塔法则,并结合无穷小代换求解. 0【详解1】 原式?limx?0e?2?cosx?xln??3???1x3

?2?cosx?ln??3??

?limx?0x2ln（2?cosx）?ln3

x?0x21（??sinx）2?coxs ?lim x?02x11sinx1??? ??lim2x?02?cosxx6 ?lim【详解2】 原式?limx?0e?2?cosx?xln??3???1x3

?2?cosx?ln??3??

?limx?0x2cosx?1）3 ?lim 2x?0xcosx?11?? ?lim

x?03x26ln（1?特训题83、设函数f(x)在（??,??）上有定义, 在区间[0,2]上, f(x)?x(x2?4), 若对任意的x都满足

f(x)?kf(x?2), 其中k为常数.

(Ⅰ)写出f(x)在[?2,0]上的表达式; (Ⅱ)问k为何值时, f(x)在x?0处可导.

【分析】分段函数在分段点的可导性只能用导数定义讨论. 【详解】(Ⅰ)当?2?x?0,即0?x?2?2时,

f(x)?kf(x?2)?k(x?2)[(x?2)2?4]?kx(x?2)(x?4). (Ⅱ)由题设知 f(0)?0.

f(x)?f(0)x(x2?4)?(0)?lim? f??lim???4

x?0x?0x?0x?(0)?lim? f?x?0f(x)?f(0)kx(x?2)(x?4)?lim??8k. x?0x?0x令f??(0)?f??(0), 得k??即当k??

1. 21时, f(x)在x?0处可导. 22特训题84、设e?a?b?e, 证明lnb?lna?224(b?a). 2e【分析】文字不等式可以借助于函数不等式的证明方法来证明,常用函数不等式的证明方法主要有单调性、极值和最值法等.

【详证1】设?(x)?lnx?4x, 则 e2lnx4??(x)?2?2

xe1?lnx ???(x)?22,

x2所以当x?e时, ???(x)?0, 故??(x)单调减小, 从而当e?x?e时, ??(x)???(e)?即当e?x?e时, ?(x)单调增加.

因此, 当e?a?b?e时, ?(b)??(a), 即 lnb?222244?2?0, 2ee442b?lna?a 22ee422故 lnb?lna?2(b?a).

e422【详证2】设?(x)?lnx?lna?2(x?a), 则

elnx4??(x)?2?2

xe1?lnx ???(x)?22,

x2?x?e时, ???(x)?0???(x)?, 从而当e?x?e2时,