2012考研数学必看：很详细的考研数学全程辅导书选择及复习规划 -(7)

??(x)???(e)?244?2?0, 2ee?e?x?e2时, ?(x)单调增加.

?e?a?b?e2时, ?(x)??(a)?0。令x?b有?(b)?0

即 lnb?lna?

【详证3】证 对函数lnx在[a,b]上应用拉格朗日定理, 得 lnb?lna?222224(b?a). 2e2ln??(b?a), a???b.

设?(t)?lnt1?lnt, 则??(t)?, tt2当t?e时, ??(t)?0, 所以?(t)单调减小, 从而?(?)??(e2), 即

lne22 ?2?2,

?eeln?故 lnb?lna?

224(b?a) e2x?4sinx的水平渐近线方程为______________

5x?2cosx4sinx1?x?1 ?limy?limx??x??2cosx55?x特训题85、曲线y?

?1x2?3?sintdt,x?0特训题86、设函数f(x)??x0 在x=0处连续，则a=___________ ?a,x?0?sm(x2)1?limf(x)?lim?

x?0x?03x23

特训题87、设函数y?y(x)由方程y?1?xe确定，则

当x=0时，y=1，

又把方程每一项对x求导，y???e?xey?

yyydydxx?0?______________

y?(1?xe)??eyyy?x?0ey??1?xeyx?0y?1??e

特训题88、设函数y?f(x)具有二阶导数，且f?(x)?0,f??(x?)为自变量x在点x0处的增量，0,?x?y与dy分别为f(x)在点x0处对应增量与微分,若?x?0，则（ ）

（A）0?dy??y （C）?y?dy?0

（B）0??y?dy （D）dy??y?0

由f?(x)?0可知f(x)严格单调增加

f??(x)?0可知f(x)是凹的

即知

特训题89、设函数g(x)可微,h(x)?e1?g(x),h?(1)?1,g?(1)?2,则g(1)等于（ ）

（A）ln3?1 （C）?ln2?1

1?g(1)（B）?ln3?1 （D）ln2?1

3∵ h?(x)?g?(x)e1?g(x)，1?2e特训题90、试确定A，B，C的常数值，使ex(1?Bx?Cx2)?1?Ax?o(x3)其中o(x3)是当x?0时比x的高阶无穷小.

x2x3??o(x3)代入已知等式得 解：泰勒公式e?1?x?26x

x2x3[1?x???o(x3)][1?Bx?Cx2]?1?Ax?o(x3)

26整理得

11??B1?(B?1)x?(C?B?)x2???C???o(x3)?1?Ax?o(x3)

26??2比较两边同次幂函数得

B+1=A ①

1=0 ② 2B1?C??0 ③ 26B12??0则B?? 式②-③得

2331A? 代入①得

31C? 代入②得

6C+B+

特训题91、设数列{xn}满足0?x1??，xn?1?sinxn(n?1,2,3,?)

证明：（1）limxn?1存在，并求极限

n??1

?xn?1?xn2 （2）计算lim?? n??x?n?证：（1）?x2?sinx1,?0?x2?1,因此n?2

xn?1?sinxn?xn,{xn}单调减少有下界??xn?0?

根据准则1，limxn?A存在

n??在xn?1?sinxn两边取极限得A?sinA?A?0 因此limxn?1?0

n??1

?sinxn?xn2（2）原式?lim?为\?\型 ?n???xn? ? 离散散不能直接用洛必达法则

limt?t2?sint?0t2???e先考虑 lim??t?0?t?lim1?11?sit?nln?t?

t?02t

用洛必达法则?e1(tcost?sint)?sintt2t

?elimt?0tcost?sint2t3?et?0lim?t2??t3?t?1??0(t2)???t??0(t3)??2???6????2t3

?e?11?33????t?0(t)?26?lim2t3t?0?e

1 ?a?16特训题92、证明：当0?a?b??时，bsinb?2cosb??b?asina?2cosa?证：令f(x)?xsinx?2cosx??x

只需证明0?a?x??时,f(x)单调增加（严格）

f?(x)?sinx?xcosx?2sinx??

?xcosx?sinx??

f??(x)?cosx?xsinx?cosx??xsinx?0 ?f?(x) 单调减少（严格）

又f?(?)??cos????0

故0?a?x??时f?(x)?0则f(x)单调增加（严格）

由b?a则f(b)?f(a)

得证

?x?t2?1特训题93、已知曲线L的方程?2y?4t?t?（I）讨论L的凹凸性

(t?0)

（II）过点(?1,0)引L的切线，求切点(x0,y0)，并写出切线的方程 （III）求此切线与L（对应x?x0部分）及x轴所围的平面图形的面积

解：（I）

dxdydy4?2t2?2t,?4?2t,???1 dtdtdx2tt

?dy?d??1d2y1?2?1?dx?????????0(t?0处) 2?3dx?dx2dtt2tt??dt?曲线L(在t?0处)是凸

?2?22， ?1?(x?1)，设x0?t0?1，y0?4t0?t0?t?

（II）切线方程为y?0??

?2?222324t?t?则00??1?(t0?2),4t0?t0?(2?t0)(t0?2)

?t0?2得t0?t0?2?0,(t0?1)(t0?2)?0?t0?0?t0?1

点为（2，3），切线方程为y?x?1

（III）设L的方程x?g(y)

则S????g(y)?(y?1)???dy

3?0t2?4t?y?0解出t?2?4?y得x?2?4?y??2?1

由于（2，3）在L上，由y?3得x?2可知x?2?4?y??2?1?g(y)

S???9?y?44?y?(y?1)?dy

??0333????(10?2y)dy?4?4?ydy

002?(10y?y2)?4?4?yd(4?y)?21?4??(4?y)030333320

8642?21???3?

333特训题94、当x?0时，与x等价的无穷小量是

?(A) 1?ex. (B) ln(1?x). (C) 1?x?1. (D) 1?cosx. 【 】

【答案】 应选(B).

【分析】 利用已知无穷小量的等价代换公式，尽量将四个选项先转化为其等价无穷小量，再进行比较分析找出正确答案.

【详解】当x?0时，有1?e?x??(ex?1)~?x；ln(1?x)~x；

1?x?1~111x；1?cosx~(x)2?x. 可见应选(B). 222特训题95、设函数f(x)在x=0处连续，下列命题错误的是：

f(x)f(x)?f(?x)存在，则f(0)=0. (B) 若lim存在，则f(0)=0.

x?0x?0xxf(x)f(x)?f(?x) (C) 若lim存在，则f?(0)存在. (D) 若lim存在，则f?(0)存在

x?0x?0xx(A) 若lim【 】

【答案】 应选(D).

【分析】 本题为极限的逆问题，已知某极限存在的情况下，需要利用极限的四则运算等进行分析讨论。 【详解】(A),(B)两项中分母的极限为0，因此分子的极限也必须为0，均可推导出f(0)=0. 若limx?0f(x)f(x)?f(0)f(x)?lim?0，可见(C)也正确，故应选(D). 事实上，可举反存在，则f(0)?0,f?(0)?limx?0x?0xx?0x例：f(x)?x在x=0处连续，且

limx?0x??xf(x)?f(?x)?0存在，但f(x)?x在x=0处不可导 . =limx?0xx1?ln(1?ex)，渐近线的条数为 x特训题96、曲线y?(A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3. 【 】 【答案】 应选(D).

【分析】 先找出无定义点，确定其是否为对应垂直渐近线；再考虑水平或斜渐近线。

x【详解】 因为lim[?ln(1?e)]??，所以x?0为垂直渐近线；

x?01x又 lim[?ln(1?e)]?0，所以y=0为水平渐近线；

x???1xxy1ln(1?ex)ln(1?ex)ex]?lim?1， 进一步，lim?lim[2?=limxx???xx???xx???x???xx1?e lim[y?1?x]?lim[?ln(1?e)?x]=lim[ln(1?e)?x]

x???x???x???1xxx =lim[lne(1?e)?x]?limln(1?e)?0，

x???x???x?x?x于是有斜渐近线：y = x. 故应选(D).

x3?x2?1(sinx?cosx)= . 特训题97、limx???2x?x3【答案】 应填0.

x3?x2?1?0，而sinx+cosx有界，故 【详解】 因为limx???2x?x3