2012考研数学必看：很详细的考研数学全程辅导书选择及复习规划 -(2)

特训题11、求lim?1??1?x?. x?0?xe?1?01?(ex?1)?x?1解 lim??x （“”型） ?lim?x?0?xe?1?x?0x(ex?1)0ex?1ex＝limx ?limxxx?0(e?1)?xexx?0e?e?xex＝lim11?

x?02?x21cos2x?). 特训题12、 求lim(x?0sin2xx2x2?sin2x?cos2x解 原式＝lim 22x?0xsinx1x2?sin22x4＝lim 4x?0x42x?sin2xcos2x4＝lim

x?04x31x?sin4x4＝lim 3x?02x1?cos4x4sin4x4?lim? ＝lim2x?0x?06x12x3?x2?1,x?c?特训题13、设函数f(x)??2在(??,??)内连续，则c? .

,x?c?x?解：1

f?x??limf?x??c?1?分析：由lim??2x?cx?c2?c?1 cx特训题14、 求lim?x?02sin2x.

解 令y?xsinx，lny?sin2xlnx

x?0limlny?limsin2xlnx?0（见2中例3） ??x?00x?0y?e?1 ∴lim?特训题15、 求lim?cosx?x?0cot2x（前面已用重要公式的方法）.

解 令y??cosx?cot2x，lny?cot2xlncosx

limlny?limcot2xlncosx?limx?0x?0lncosxlncosx?lim 2x?0tan2xx?0x

1?0?tanx1??，∴limy?e2 （“”型）＝limx?0x?002x21??1特训题16、 求lim?sin?cos?.

x??xx??11?11???解 令y??sin?cos?，lny?xln?sin?cos?

xx?xx???xx1??1ln?sin?cos?ln(sint?cost)xx? limlny?lim??limx??x??t?01tx＝limt?0cost?sint?1

sint?cost∴limy?e

x??特训题17、 求极限limx?01sinxln. 2xx解：limx?01sinx1?sinx?ln?limln?1??1?

x?0x2x2xx???limsinx?xcosx?1sinx1?lim??lim??

x?0x?0x?06xx33x26特训题18、 求lim(1?cos2x)arctan3x.

x?0(ex?1)ln(1?2x)sin5x解 用等价无穷小量代换

1(2x)2?(3x)3原式＝lim2?

x?0x?(2x)?(5x)51x. 特训题19、 求limx?0(1?cosx)ln(1?x)3sinx?x2cos0”型，但分子、分母分别求导数后的极限不存在，因此不能用洛必达法则. 01??sinx3?xcos?x1x??3 原式＝lim??x?01?cosxln(1?x)??2x??1sinx?x?x36. 特训题20、 求lim5x?0x解 这个极限虽是“

x3x5??o(x5) （当x?0时） 解 ∵sinx?x?3!5!

x5?o(x5)11∴原式＝lim5!5 ??x?0x5!120特训题21、 设f?(x0)?2，求lim解

?x?0f(x0?3?x)?f(x0?2?x).

?xf(x0?3?x)?f(x0)???f(x0?2?x)?f(x0)??原式＝lim

?x?0?x＝3lim?x?0f(x0?3?x)?f(x0)f(x0?2?x)?f(x0) ?2lim?x?03?x??2?x?＝3f?(x0)?2f?(x0)?5f?(x0)?10

特训题22、 设曲线y?f(x)与y?sinx在原点相切，求limnf().

n??2n解 由题设可知f(0)?0，f?(0)?(sinx)?x?0?1

?2?f???f(0)n?2?于是 limnf???lim2????2f?(0)?2

n??n??2n???0n1?a?1?a?特训题23、 设a?0，x1?b?0，x2??x1??，?xn??xn?1??求limxn.

2?x1?2?xn?1?n??解 ∵xn?axn?1??a?0（算术平均值≥几何平均值）

xn?12a?xn1?a??0，则xn?1?xn 又xn?1?xn??xn???xn?2?xn?2xn因此?xn?单调减少，又有下界，根据准则1，limxn?A 存在

n??把xn?1?a?1?a?两边取极限，得A?A?x??n?1???

2?A?2?xn?1?n??A2?a，∵A＞0，∴取A?a，于是limxn?a

特训题24、 求下列函数在分段点处的极限

?sin2x　 x<0??xf(x)?? 2?x x>0??1?cosx解 f(0?0)?lim?x?0sin2xsin2x?lim2?2 x?0?x2xx2x2f(0?0)?lim?lim?2

x?0?1?cosxx?0?12x2

∴limf(x)?2

x?01??x2?esinx?. 特训题25、 求lim??4x?0?x??1?ex???1??x2?esinx???2?1?1 解 lim?4?x?0???1?ex(?x)???3???4?xx?2e?e?sinx??0?1?1 lim4x?0??x??e?x?1???1??x2?esinx??1 ∴lim??4x?0?x??1?ex???x2?ax?b特训题26、 设lim?3，求a和b.

x?1sin(x2?1)解 由题设可知lim(x?ax?b)?0，∴1+a+b=0

x?12再对极限用洛必达法则

x2?ax?b2x?a2?alim?lim??3 a?4,b??5 x?1sin(x2?1)x?12xcos(x2?1)2特训题27、f(x)连续，limx?01?cos(sinx)(e?1)f(x)x2?1，则f(0)??????????????????

解：

1 2121sinx1?1,则lim2?1，由f(x)连续，则f(0)? 分析：lim22x?0xf(x)x?0f(x)2特训题28、 讨论函数

?1?ex　　　　 x?0　　?f?x???0　　　　　　x?0

?1?xsin　　　　x?0x?在点x?0处的连续性。

f?x??limex?0 解 因 f?0?0??lim??x?0x?01f?0?0??limf?x??limxsin??x?0x?01?0 xf?0??0

即有f?0?0??f?0?0??f?0?，故f?x?在点x?0连续. 特训题29、 讨论函数

ì?ln(1-x)?　　　　　 x<0??x???1f(x)=? 　 x=0 í　　　　 ?2???1+x-1??　　　 　x>0??x?在点x?0的连续性.

1ln(1?x)x?limln(1?x)??1 解 f?0?0??limx?0?x?0?xf?0?0??lim?x?01?x?111 ?lim??x?0x1?x?12x?0因f?0?0??f?0?0?，因而limf?x?不存在，故f?x?在点x?0不连续.

ìsinx??　　 x10特训题30、 设f(x)=?在x=0处连续，求常数k. xí?? x=0??k　　　 解 ∵limf?x??limx?0sinx?1

x?0xf?0??k，由连续性可知 k?1

3特训题31、求函数f(x)?x?1的间断点，并确定其类型. x?1解 显然x?1是间断点，由于

x?1lim＝limx?1x?1x?1＝lim33?3x?1??x?1323x?x?1? x?131?

x2?3x?131所以x?1是f?x?的可去间断点.

x2?2x特训题32、 求函数f(x)?的间断点，并确定其类型.

x?x2?4?解 所给函数在点x?0，-2，2没有定义，因此x?0，-2，2是所给函数的间断点.下面确定它们的类型. 对于x?0，由于

f(0?0)?lim?x?0x(x?2)1x(x?2)1??，f(0?0)?lim? ?x?0?x(x?2)(x?2)2x(x?2)(x?2)2故x?0是第一类间断点，且为跳跃间断点.

对于x??2，由于