2012考研数学必看：很详细的考研数学全程辅导书选择及复习规划 -(5)

于是 ??(x)?f??x??f????

x?a∵f??x?是单调增加，∴f??x?＞f???? 因此

特训题62、设函数f(x)在(??,??)内连续，其导函数的图形如图所示，则f(x)有

（ ）

（A） 一个极小值点和两个极大值点 （B） 两个极小值点和一个极大值点

（C） 两个极小值点和两个极大值点

解 有三个驻点和一个不可导点，考察它们两侧导数的符号，用第一充分判别法可知，最小驻点为极大值点，另一个较小驻点为极小值点，原点为不可导点是极大值点，最大的驻点为极小值点，故应选C

特训题63、讨论f(x)?max2x,1?x的极值.

（D） 三个极小值点和一个极大值点

???x??0，则??x?在?a,b?内单调增加

??1?1?x ??x?1??3解 f(x)??

?2x x?1或x??1?3?

∴f???=?1?2为极小值

33??特训题64、 设f(x)在x0邻域内有定义，且

x?x0limf(x)-f(x0)(x-x0)n=k，其中n为正整数，k10为常数，讨论（对n）f(x0)是否为极值.

解

f(x)-f(x0)(x-x0)n=k+a(x)，其中lima(x)=0

x?x0f(x)-f(x0)=k(x-x0)n+a(x)(x-x0)n

（ⅰ）若n为正偶数，当x-x0

则f(x)-f(x0)与k同号，当k＞0，f(x0)为极小值；当k＜0，f(x0)为极大值.

（ⅱ）若n为正奇数，当x-x0

x?t?t?x?dt，0?x?1，求f?x?的极值、单调区间和凹凸区间.

01x1x0x1f(x)??t(x?t)dt??t(t?x)dt??(tx?t2)dt??(t2?tx)dt

0t2t3xt3t21x3x31xx3x3?(x??)?(?x?)?(?)?(?)?(?)

23032x233232x31xx3x3x1???????. 6326323 f?(x)?x?2122 ,令f?(x)?0，得x??.因为0?x?1，所以x?. 222f?(x)?0，得

2?x?1 22 2f?(x)?0，得 0?x?因此，f(x)的单调增区间是(22,1)；单调减区间是(0,). 22由f??(x)?2x，可知(0,1)为凹区间.

由f?(22221)?0,f??()?0,知f()???为极小值. 22263xx??特训题66、设y?(1?sinx)，则dy = _________ . 【分析】 本题属基本题型，幂指函数的求导（或微分）问题可化为指数函数求导或取对数后转化为隐函数求导. 【详解】 方法一： y?(1?sinx)=e

xxln(1?sinx)，于是

y??e从而 dyxln(1?sinx)?[ln(1?sinx)?x?cosx]，

1?sinxx??=y?(?)dx???dx.

方法二： 两边取对数，lny?xln(1?sinx)，对x求导，得

1xcosxy??ln(1?sinx)?， y1?sinxx于是 y??(1?sinx)?[ln(1?sinx)?x? dy=y?(?)dx???dx.

cosx]，故

1?sinxx??特训题67、 曲线y?(1?x)x32的斜渐近线方程为___________

【分析】 本题属基本题型，直接用斜渐近线方程公式进行计算即可. 【详解】 因为a=limx???f(x)(1?x)?lim?1, x???xxx(1?x)?xx323232 b?lim?f(x)?ax??limx???x????3， 2于是所求斜渐近线方程为y?x?3. 2f(x)不存在，则应进一步讨论x???或x???x【评注】 如何求垂直渐近线、水平渐近线和斜渐近线，是基本要求，应熟练掌握。这里应注意两点：1）当存在水平渐近线时，不需要再求斜渐近线；2）若当x??时，极限a?limx??的情形，即在右或左侧是否存在斜渐近线，本题定义域为x>0，所以只考虑x???的情形.

特训题68、当x?0时，?(x)?kx与?(x)?1?xarcsinx?cosx是等价无穷小，则k= _________ 【分析】 题设相当于已知lim2?(x)?1，由此确定k即可.

x?0?(x)【详解】 由题设，lim?(x)1?xarcsinx?cosx ?lim2x?0?(x)x?0kxxarcsinx?1?cosxkx(1?xarcsinx?cosx)2 =limx?0

=

13xarcsinx?1?cosx3k?. lim??1，得2x?02k44kx3n【评注】 无穷小量比较问题是历年考查较多的部分，本质上，这类问题均转化为极限的计算. 特训题69、设函数f(x)?limn1?xn??，则f(x)在(??,??)内

(A) 处处可导. (B) 恰有一个不可导点.

(C) 恰有两个不可导点. (D) 至少有三个不可导点. [ ] 【分析】 先求出f(x)的表达式，再讨论其可导情形. 【详解】 当x?1时，f(x)?limn1?xn??3n?1；

当x?1时，f(x)?limn1?1?1；

n??当x?1时，f(x)?limx(n??31x3n?1)?x.

1n3??x3,x??1,?即f(x)??1,?1?x?1, 可见f(x)仅在x=?1时不可导，故应选(C).

?x3,x?1.?【评注】 本题综合考查了数列极限和导数概念两个知识点. 特训题70、设函数f(x)?1exx?1,则 ?1(A) x=0,x=1都是f(x)的第一类间断点. （B） x=0,x=1都是f(x)的第二类间断点.

(C) x=0是f(x)的第一类间断点，x=1是f(x)的第二类间断点.

(D) x=0是f(x)的第二类间断点，x=1是f(x)的第一类间断点. [ ]

【分析】 显然x=0,x=1为间断点，其分类主要考虑左右极限. 【详解】 由于函数f(x)在x=0,x=1点处无定义，因此是间断点. 且 limf(x)??，所以x=0为第二类间断点；

x?0f(x)?0，limf(x)??1，所以x=1为第一类间断点，故应选(D). lim??x?1x?1xx???lim???. 从而limex?1???，limex?1?0. 【评注】 应特别注意：lim，????x?1x?1x?1x?1x?1x?1特训题71、 若x?0时，(1?ax)?1 与xsinx是等价无穷小，则a= . 【分析】 根据等价无穷小量的定义，相当于已知lim用无穷小量的等价代换进行化简.

【详解】 当x?0时，(1?ax)?1~?124214xx214(1?ax)?1，反过来求a. 注意在计算过程中应尽可能地应

x?0xsinx21412ax，xsinx~x2. 41?ax2(1?ax)1于是，根据题设有 lim?lim42??a?1，故a=-4.

x?0x?0xsinx4x特训题72、 设函数y=f(x)由方程xy?2lnx?y所确定，则曲线y=f(x)在点(1,1)处的切线方程是 . 【分析】 先求出在点(1,1)处的导数，然后利用点斜式写出切线方程即可. 【详解】 等式xy?2lnx?y两边直接对x求导，得 y?xy??442?4y3y?， x将x=1,y=1代入上式，有 y?(1)?1. 故过点(1,1)处的切线方程为 y?1?1?(x?1)，即 x?y?0.

特训题73、 y?2的麦克劳林公式中x项的系数是 _______________

xn【分析】 本题相当于先求y=f(x)在点x=0处的n阶导数值f__________________

(n)(0)，则麦克劳林公式中xn项的系数是

【详解】 因为 y??2xln2，y???2x(ln2)2，?,y(x)?2x(ln2)n，于是有

y(n)(0)(ln2)n?. y(0)?(ln2)，故麦克劳林公式中x项的系数是

n!n!(n)nn特训题74设{an},{bn},{cn}均为非负数列，且liman?0,limbn?1,limcn??,则必有

n??n??n??(A) an?bn对任意n成立. (B) bn?cn对任意n成立.

(C) 极限limancn不存在. (D) 极限limbncn不存在. [ ]

n??n??【分析】 本题考查极限概念，极限值与数列前面有限项的大小无关，可立即排除(A),(B)； 而极限limancn是0??型

n??未定式，可能存在也可能不存在，举反例说明即可；极限limbncn属1??型，必为无穷大量，即不存在.

n??【详解】 用举反例法，取an?

21，bn?1，cn?n(n?1,2,?)，则可立即排除(A),(B),(C)，因此正确选项为(D). n2??ln(1?ax3),x?0,??x?arcsinx6,x?0, 特训题75设函数 f(x)???eax?x2?ax?1x?0,,?x?xsin4?问a为何值时，f(x)在x=0处连续；a为何值时，x=0是f(x)的可去间断点？

【分析】 分段函数在分段点x=0连续，要求既是左连续又是右连续，即

f(0?0) …… 此处隐藏：2148字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……