北师大版八年级数学上册单元测试《第1章 勾股定理》（解析版）(4)

【点评】本题考查正确运用勾股定理的应用，解题时从实际问题中整理出直角三角形是本题的关键．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键． 三、解答题

19．如图，在一棵树的10米高B处有两只猴子，其中一只爬下树走向离树20米的池塘C，而另一只爬到树顶D后直扑池塘C，结果两只猴子经过的距离相等，问这棵树有多高？

【考点】勾股定理的应用．

【分析】首先根据题意，正确画出图形，还要根据题意确定已知线段的长，再根据勾股定理列方程进行计算．

【解答】解：设BD=x米，则AD=（10+x）米，CD=（30﹣x）米， 根据题意，得：

（30﹣x）2﹣（x+10）2=202， 解得x=5．

即树的高度是10+5=15米．

【点评】能够根据题意用同一个未知数表示出直角三角形的三边是解决此题的关键．

20．小东拿着一根长竹竿进一个宽为3米的城门，他先横着拿不进去，又竖起来拿，结果竿比城门高1米，当他把竿斜着时，两端刚好顶着城门的对角，问竿长多少米？ 【考点】勾股定理的应用；一元一次方程的应用． 【专题】几何图形问题．

【分析】根据题意可构造出直角三角形，根据勾股定理列出方程，便可得出答案． 【解答】解：设秆长x米，则城门高（x﹣1）米，根据题意得x2=（x﹣1）2+32， 解得x=5 答：秆长5米．

【点评】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，比较简单．找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．

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21．如图，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，求EC的长．

【考点】翻折变换（折叠问题）． 【专题】计算题．

【分析】根据矩形的性质得DC=AB=8，AD=BC=10，∠B=∠D=∠C=90°，再根据折叠的性质得AF=AD=10，DE=EF，在Rt△ABF中，利用勾股定理计算出BF=6，则FC=4，设EC=x，则DE=EF=8﹣x，在Rt△EFC中，根据勾股定理得x2+42=（8﹣x）2，然后解方程即可． 【解答】解：∵四边形ABCD为矩形， ∴DC=AB=8，AD=BC=10，∠B=∠D=∠C=90°， ∵折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处 ∴AF=AD=10，DE=EF， 在Rt△ABF中，BF=∴FC=BC﹣BF=4，

设EC=x，则DE=8﹣x，EF=8﹣x， 在Rt△EFC中， ∵EC2+FC2=EF2，

∴x2+42=（8﹣x）2，解得x=3， ∴EC的长为3cm．

【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了勾股定理．

22．如图所示，某人到岛上去探宝，从A处登陆后先往东走4km，又往北走1.5km，遇到障碍后又往西走2km，再转向北走到4.5km处往东一拐，仅走0.5km就找到宝藏．问登陆点A与宝藏埋藏点B之间的距离是多少？

=

=6，

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【考点】勾股定理的应用．

【分析】本题需要把实际问题转化为数学模型，过点B作过点A的直线的垂线，构造直角三角形，利用勾股定理完成．

【解答】解：过点B作BC⊥AD于C，则AC=4﹣2+0.5=2.5km，BC=6km， 在Rt△ABC中，由勾股定理求得AB=

=

=6.5（km）．

所以登陆点A与宝藏埋藏点B之间的距离是6.5km．

【点评】本题的关键是把实际问题转化为数学模型，运用勾股定理进行求解．

23．如图，将一根25cm长的细木棒放入长、宽、高分别为8cm、6cm和10中，求细木棒露在盒外面的最短长度是多少？

cm的长方体无盖盒子

【考点】勾股定理的应用． 【专题】应用题．

【分析】长方体内体对角线是最长的，当木条在盒子里对角放置的时候露在外面的长度最小，这样就是求出盒子的对角线长度即可． 【解答】解：由题意知：盒子底面对角长为盒子的对角线长：

=20cm，

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=10cm，

细木棒长25cm，

故细木棒露在盒外面的最短长度是：25﹣20=5cm．

【点评】本题重点考查学生的空间想象能力及勾股定理的应用．

24．某校把一块形状为直角三角形的废地开辟为生物园，如图所示，∠ACB=90°，AC=80米，BC=60米，若线段CD是一条小渠，且D点在边AB上，已知水渠的造价为10元/米，问D点在距A点多远处时，水渠的造价最低？最低造价是多少？

【考点】勾股定理的应用． 【专题】应用题．

【分析】当CD为斜边上的高时，CD最短，从而水渠造价最低，根据已知条件可将CD的长求出，在Rt△ACD中运用勾股定理可将AD边求出．

【解答】解：当CD为斜边上的高时，CD最短，从而水渠造价最低， ∵∠ACB=90°，AC=80米，BC=60米， ∴AB=

=

=100米，

∵CD?AB=AC?BC，即CD?100=80×60， ∴CD=48米，

∴在Rt△ACD中AC=80，CD=48， ∴AD=

=

=64米，

所以，D点在距A点64米的地方，水渠的造价最低，其最低造价为480元． 【点评】本题的关键是确定D点的位置，在运算过程中多次用到勾股定理．

25．如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家，他要完成这件事情所走的最短路程是多少？

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【考点】轴对称-最短路线问题． 【专题】应用题．

【分析】先作A关于MN的对称点，连接A′B，构建直角三角形，利用勾股定理即可得出答案． 【解答】解：如图，作出A点关于MN的对称点A′，连接A′B交MN于点P， 则A′B就是最短路线，

在Rt△A′DB中，由勾股定理求得 A′B=DA

=

=17km，

答：他要完成这件事情所走的最短路程是17km．

【点评】本题考查的是勾股定理和轴对称在实际生活中的运用，需要同学们联系实际，题目是一道比较典型的题目，难度适中．

26．印度数学家什迦逻（1141年﹣1225年）曾提出过“荷花问题”： 平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲． 出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边， 离开原处二尺远，花贴湖面像睡莲． 能算诸君请解题，湖水如何知深浅？

【考点】勾股定理的应用．

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