北师大版八年级数学上册单元测试《第1章 勾股定理》（解析版）(2)

《第1章 勾股定理》

参考答案与试题解析

一、填空题

1．已知直角三角形的两边的长分别是3和4，则第三边长为 5或【考点】勾股定理． 【专题】分类讨论．

【分析】已知直角三角形两边的长，但没有明确是直角边还是斜边，因此分两种情况讨论：①3是直角边，4是斜边；②3、4均为直角边；可根据勾股定理求出上述两种情况下，第三边的长． 【解答】解：①长为3的边是直角边，长为4的边是斜边时： 第三边的长为：

=

；

．

②长为3、4的边都是直角边时： 第三边的长为：

=5；

．

综上，第三边的长为：5或故答案为：5或

．

【点评】此题主要考查的是勾股定理的应用，要注意的是由于已知的两边是直角边还是斜边并不明确，所以一定要分类讨论，以免漏解．

2．如图所示，某风景名胜区为了方便游人参观，计划从主峰A处架设一条缆车线路到另一山峰C处，若在A处测得∠EAC=30°，两山峰的底部BD相距900米，则缆车线路AC的长为 600

米．

【考点】勾股定理的应用． 【专题】几何图形问题；转化思想．

【分析】过点C作CO⊥AB，垂足为O，由图可看出，三角形OAC为一直角三角形，已知一直角边和一角，则可求斜边．

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【解答】解：过点C作CO⊥AB，垂足为O， ∵BD=900， ∴OC=900， ∵∠EAC=30°， ∴∠ACO=30°． 在Rt△AOC中， ∵AC=2OA， 设OA=x，则AC=2x， （2x）2﹣x2=OC2=9002， ∴x2=270000， ∴x=300∴AC=600

米．

．

故答案为600

【点评】本题考查了直角三角形的性质和勾股定理．

3．已知，如图所示，Rt△ABC的周长为4+2

，斜边AB的长为2

，则Rt△ABC的面积为 1 ．

【考点】勾股定理． 【专题】几何图形问题．

【分析】根据已知列方程组，再根据完全平方公式即可求得两直角边的积，从而不难求得三角形的面积．

【解答】解：设AC=a，BC=b，

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∴，

∴，

∴（a+b）2=a2+b2+2ab=12+2ab=16， ∴ab=2，

∴Rt△ABC的面积为ab=×2=1． 故答案为：1．

【点评】此题考查了勾股定理及完全平方公式的综合运用．

4．如图，一架10米长的梯子斜靠在墙上，刚好梯顶抵达8米高的路灯．当电工师傅沿梯上去修路灯时，梯子下滑到了B′处，下滑后，两次梯脚间的距离为2米，则梯顶离路灯 2 米．

【考点】勾股定理的应用． 【专题】几何图形问题；转化思想．

【分析】根据题意，将梯子下滑的问题转化为直角三角形的问题解答． 【解答】解：在直角三角形AOB中，根据勾股定理，得： OB=6m，

根据题意，得：OB′=6+2=8m． 又∵梯子的长度不变，

在Rt△A′OB′中，根据勾股定理，得：OA′=6m． 则AA′=8﹣6=2m．

【点评】熟练运用勾股定理，注意梯子的长度不变．

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5．在△ABC中，∠C=90°，AB=5，则AB2+AC2+BC2= 50 ． 【考点】勾股定理．

【分析】根据勾股定理可得AB2=AC2+BC2，然后代入数据计算即可得解． 【解答】解：∵∠C=90°， ∴AB2=AC2+BC2，

∴AB2+AC2+BC2=2AB2=2×52=2×25=50． 故答案为：50．

【点评】本题考查了勾股定理，是基础题，熟记定理是解题的关键．

6．已知三角形三边长2n+1，2n2+2n，2n2+2n+1，n为正整数，则此三角形是 直角 三角形． 【考点】勾股定理的逆定理．

【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形判定则可．如果没有这种关系，这个三角形就不是直角三角形． 【解答】解：∵（2n+1）2+（2n2+2n）2=4n2+4n+1+4n4+8n3+4n2=4n4+8n3+4n2+4n+1， （2n2+2n+1）2=4n4+8n3+4n2+4n+1， ∴（2n+1）2+（2n2+2n）2=（2n2+2n+1）2， ∴此三角形是直角三角形．

【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．

7．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm．A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为 25 dm．

【考点】平面展开-最短路径问题． 【专题】计算题；压轴题．

【分析】先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．

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【解答】

解：三级台阶平面展开图为长方形，长为20dm，宽为（2+3）×3dm， 则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长． 可设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为xdm， 由勾股定理得：x2=202+[（2+3）×3]2=252， 解得x=25． 故答案为25．

【点评】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答．

8．如图是2002年8月在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，它是由4个相同的直角三角形拼和而成．若图中大小正方形的面积分别为52cm2和4cm2，则直角三角形的两条直角边的和是 10 cm．

【考点】勾股定理；列代数式． 【专题】应用题．

【分析】根据已知列方程组，再根据完全平方公式即可求得直角三角形的两条直角边的和． 【解答】解：设直角三角形的两条直角边是a，b 根据题意得：

两个方程相加，得（a+b）2=100，解得：a+b=10cm．

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