同济大学高数A测验

同济大学《高等数学A》测验试卷二

2014—2015学年第一学期

专业 学号 姓名 得分

（ 注意： 解答题要求写出解题过程 ）

一、选择填空题(每题5分,共40分)

snix42

1、设M cosxdx

-1 x22

则有( D )

3

4

，N

2342

，(sinx cosx)dxP x(sinx cosx)dx， 2 2

2

(A)N P M,(B)M P N,(C)N M P,(D)P M N 2、使不等式

x

1

sint

dt lnx成立的x的范围是(A ) t

(A) 0,1 (B) 1,

(C) , (D) ,+

2 2

x x20 x 1

3、设f(x) 则 F(x) 02 x1 x 2

13

x0 x 1 3

f(t)dt .

17 x2 2x 1 x 2 6 2

4、由定积分的性质，积分I 5、

2

2

(xe 4 x2)dx 5

x4

0d02224

xcostdt costdt 2xcosx. 22 x

dx x

111 xfxdx x. 6、f x ，则=fx 0

1 x21 x22

7、f(x)是连续函数，如果将极限I lim f(

n

i 1

n

n i1

)写成定积分的形式， nn

则I

1

2

f x dx

8. y e2(x 1) x 在x 1所对应点的曲率k

二、解答题

x2xe

1、（10分）设f x

1 11

x ,

222

求： 1f x 1 dx.

12x

2

2

12

f x 1 dx

121 2

2

112

f x dx

xexdx 1 1 dx

2

1

12

2、（10分）设f x

x

sint

dt，求 f x dx.

0t

f x dx xf x 0 xf x dx

sinx

xdx sinxdx 2

0x

x t f t dt 3、（10分）设函数f x 连续，f 0 0，求lim.

x f x t dt

x 0

x0

x

lim

x 0

x

x t f t dt

x0x

x f x t dt

x

lim

x 0

x f t dt tf t dt

xx

x f t dt

x0x

x

f t dt xf x xf x f t dt lim lim f t dt xf x f t dt xf x

x 0

x 0

lim

x 0

1x

f t dt f x 0xf 0 1 f0 f02

4、（10分）求

1x

f t dt 0

tt xdt.

1

111

tx tdt x 0 1 23

tt xdt 0

xt x t dt 1t t x dt 1 1x 1x3

x

323 0

x 1

x 1

三、证明题

1、（10分）设f(x)在1, 上连续，对任意x 1, 有f(x) 0，lim

lnf x

x lnx

证明，若 1，证明：因为lim

1

f x dx收敛.

lnf x

对任意的 0，存在X 0，当x X时，

x lnx，

lnf x

lnx f x

1x

又 1， 是任意的，可取得 1 有比较判别法：若 1，

2、（12分）f x 是a,b上的连续函数，g x 是a,b上的可积函数，(1)证明：如果

1

f x dx收敛.

g x 0或g x 0（在区间 a,b 上不改变符号），则 a,b ，满足

b

a

f x g x dx f g x dx；(2)举例证明当g x 在区间 a,b 上改变符号时结

a

b

论未必成立.

证明：不妨设g x 0

，

f x 是 a,b 上的连续函数，则f x 在 a,b 上有最大值M

最小值m，mg x f x g x Mg x

m g x dx f x g x dx M g x dx

a

a

a

bbb

f x g x dx f

g x dx

a

ba

b

a,b

令f x g x x,a 1,b 1

b

a

f x g x dx x2dx

1

1

2 3

f g x dx f xdx 0

a

1

b1

1、（8分）计算

x

x

sinxe xdx e xdx 1

sinxe e,

所以，

sinxe xdx收敛

x

n

n 0n

k

0n

sinxedx lim

sinxedx

x

k 1

sinxe xdx

x

k 1

1n k 11 e k 1 n

sinxedx e e 1 e

2k 121 e

11 e

sinxedx

21 e

x

如果没有收敛性证明，必须用夹逼定理

sinxe xdx lim sinxe xdx

b 0

b

n 1 b n 1