高等数学导数公式大全

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导数基的公式与本运算法则 基本初等数函导的公数式

c 0 c(为任意常)数'

(x ) = x 1-. a() x= xal a .n(e) x=ex. 1 1 lo( g x a ) . (nlx ) . x x l na(sn ix )= cosx . (atn )x = esc2x. (sec )x = sc x eta x n

(c.osx ) = -sinx. co(tx ) - c=s2c .x( ccs x ) =- scc xcotx .

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外另还反三角有函数导的数式公：

arc(inx )s (a crcsox ) 1 1 -x 2-1 ,,1 - 2 x1 a(crat nx ) , 2 x1 - 1a(rcc tox ) .2 1 x

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导数的四运算则设数 u函x()、vx() 在x 可导处， v(x ) ( u ( ) 0)x则它 的和、们、差与积商u( x 在) x处 可导也且， 理定.2 (u(x) 1vx)( ) =u( x ) (xv;)( ux)v(x()) = ux)(v x) ( +u x)(vx)(; v (x ) u( xv) (x ) u (- x)v( x ) . 2u (x ) [( xu) ]

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论推1 论 推

(c2u())x = c u() x(c为 数常.) 1 u (x) u(x ) - 2 u ( x) .

乘法 法则推广的：

(uv)w' u 'vw v 'uw uwv '

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补例充题 求：下函列数导的：数例 1设 f (x ) =34x– e x 5c+sox - 1,求 f(x ) 及f (0. ) 根据推论 解1可得 3x()4 =(34)x , 5c(os x) =(5oscx , 又)x(4) = 4x,3(oc sx )= - snix, ( xe ) e=, (1x = )0, f故 ( ) = x(34x -e x+ 5 cs xo 1) = -3x4() -e( x) +(5co xs )- 1() =1 x2 3- e -x5sin .xf ( ) 0 =1(23x -e x -si5 x)|x=0n= - 1

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2例设 y= xlxn, 求 y.

解根据法公乘，式有y = xl(xn) = x ln(x) (x l)n1x x 1 l n x

x 1 ln x .

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例3解

x1 设 y- x2 1, 求y .

据根除法公，有式2 2 -x1 ( x 1( x - )1 )- ( x 1) (x -) 1y 2 22 x 1 ( x 1 )

(x2 1 )(x[ ) (-1)] [( - 2 x ())1] ( x- 1) ( x 2 )2

(1 x 2 ) 1-2 (xx - 1 2)x - 2 x1 . 2 22 2( x )1( x 1

)教材P

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2 例32求下 列函数导的：数1( y) x - cs xo( 2) y e xx3 2( 4)y 2 x x s3inx e ( 3 y ) 2 1 -x32x (1 ) y' (x3- os cx) ' ( x3 '-)(c s x)o '3x2 s ni x2)(y ' (xe2x)' ( x2 )' e xx2( x e') 2xx e x2 e x( x 2) e xxx '(1 x- x2 )- x(1 - x 2 ) '1 - x2 -x(-2x )(3 y ') ( )' 2 2 2 22 1- x2 (1 - )x 1 -(x 1 x) ( - x12 ) 2解

:(4)y ' 2( x3 ' )(3x in sx)' e( )'2 2( x 3) '-3( xsi n)x ' 02 6x - 3(is nx x cso x)

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高阶数导果如以对可数函 f() x导函的数 f ()x 求再导，所得到的一个新数函 称为函， 数y = (fx 的)二阶数，d 2导 如y对阶导数二再导，求 .则记 作f ( )x或 y 或 2 xd d3 y称三导数，阶. 四或四阶以阶上导记 作f ( x 或 3 )xd数记为

y4()y(,5), · · ,·y(n)f (x )为称f (x) 一的导阶数.d4 ydn y 或 ·,· n, · 4 ,dxdx

而把

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例3求下列 函的二数导数

阶(1 y ) xcos x 解：

2( )y arcta nx

(1) y ' c osx x ( -sn xi) cos x- x sin x " y sin- x -( is n xx co s)x - 2in x -sx os xc

2x1 () 2 y' 2 2 21 (1 x x ) 1 ( x)' y " 2 2 ( 1 x )

2二阶以的上数导可用后面的利学数件来软计算

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合复函的数导求则定理2法2 若.函数u u ( x) 点x在导，函数可y=f( u 在点)u可导，则处合函复y数 f ( u( x)) 点在x可，且导d dy yu d d dxud x

d 或记作y : f ('u )u ( 'x dx)推论设 y f=( u) ,u (v=,)v = () 均x可导，则复合函 y =数 f [ ((x)] )可也，导 y x yu uv v x

.水

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泥发泡 htt剂p/:/ww.shwionltgl.oc/m 水发泡剂 泥銵莒崇以

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法则上说：明复函合对自变数的导数量等复合于函数对中间 量的导数变以乘间中变对量变量的自数.导例4.求下列函数导的：数 )y 1 (x 1)3 2 ;32) y sin( x -);2 ) 4 y e3

3 y) l n cos x;5 ) y 23

antx

;

-x2解:(1) 数函可分解以y为 u ( x), u ( x) x3 ,1 y' [ u x)(] ' 3u( x) u x()' 3(x3 1) 3( x 1)' 22 2

323( x 1) x6 81x (x 1)3 2 222

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(2把 x - )当作中间变2量， ' yco s( x -)2 ( x 2) '- 1 osc x ( 2)- 2 xc so x(- )2 2 x(3)把 cs o当x中作变量间 ，1sin x ' y cos( x) ' - an t cos x xoc xs

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4) ( 把an xt 作中间当量，变 y '(e an xt

)' e tanx t(nax) ' ec xes2

atnx (5) 把 -x 当作间变中量，y ' (2 ) ' 2 nl2 ( -x) ' 2 -nl 2- x-x-x

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求导法小方： 结将要先导的函求数分解成本初基函等,或数 常与数基初等函数本和的、差、、商积. 任初等何数函导数都的可按以常和基本 初等数函数的导求公式上述复合和函数求导 法的则求出 .复合函数求导的关键 :确分正解初等函 的数合复结构.

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练习：求下列函数导数(的堂练课习)( 2 y ) os cx3;(3 y ) x2 - x 32 (4; )lgco s3( 2 2x) () 1 y -( 1 x2 3 );解: ()1 y ' 6 x(1 - x 2) 2 () y2 ' -x3l 3 ns i nx (33 ) y '2 - 3x2 x -23 x 2 [co(3s 2 2x )' - s]n(i 23x 2 ) 22( ) y4' (3 2 x) ' 4x tan3( x2) 2 2 c o(3s 2 x )cos3( 2 x)

例

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5:求列下函数导的

y 数 1() cos x2

(2y )e x 2-3x -2

(3) y l nn ll nx ()4 y ln(x x )12

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函数隐的数导y与x的关系方由( F程 ，y)=x确定，未0出因解变的量方 程 F( ,y)=0所确x的定数y 函 (y x)为称函隐数

y d6 例函数y 设 y( x )方由y程 1 ex 所确，定 .求 dxy

解上式两：边对x导，则求y 有=(1) '' x(e )' ,即 y

y 'e x ( ) e x ee y ' y y yy

( 1- xe ) ' y e

yy

ey y ' 1 - xey