解答题规范专练(三) 数 列

解答题规范专练(三) 数 列

1．(2015·石家庄一模)已知{an}是各项均为正数的等比数列，且a1·a2＝2，a3·a4＝32. (1)求数列{an}的通项公式；

bbbb(2)设数列{bn}满足an＋1－1(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和．

1352n－1

2．(2015·青岛二模)若数列{bn}对于任意的n∈N*，都有bn＋2－bn＝d(常数)，则称数列{bn}

4n－1，n为奇数，

是公差为d的准等差数列．如数列cn，若cn＝ 则数列{cn}是公差为8

4n＋9，n为偶数，

的准等差数列．设数列{an}满足a1＝a，对于n∈N*，都有an＋an＋1＝2n.

(1)求证：{an}是准等差数列； (2)求{an}的通项公式及前20项和S20.

111

3．(2015·天津红桥模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2＋(n∈N*)．

22(1)求数列{an}的通项公式；

1k

(2)设cn＝{cn}的前n项和为Tn，求使不等式Tn＞对一切n

2 014 2an－11 2an－9 ∈N*都成立的最大正整数k的值；

*

an n＝2k－1，k∈N，

(3)设f(n)＝ 是否存在m∈N*，使得f(m＋15)＝5f(m)成*

3an－13 n＝2k，k∈N，

立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

答案

2

a1q＝2，

1．解：(1)设等比数列{an}的公比为q，由已知得 25

aq＝32， 1

又∵a a1＝1，

1＞0，q＞0，∴

q＝2，

∴an＝2n－

1.

(2)由题意可得b1b3b5…b2n－1＝2n－1，

∴2n－1－1＋bb－

2n－12n－1(n≥2)，2n－1＝2n1，

∴b－

n＝(2n－1)·2n1(n≥2)，

当n＝1时，b1＝1，符合上式， ∴b－

n＝(2n－1)·2n1(n∈N*)．

设数列{bn}的前n项和为Tn＝1＋3×21＋5×22＋…＋(2n－1)·2n－

1，

则2T－

n＝1×2＋3×22＋5×23＋…＋(2n－3)·2n1＋(2n－1)·2n，

两式相减得－T－

n＝1＋2(2＋22＋…＋2n1)－(2n－1)·2n＝－(2n－3)·2n－3，∴Tn＝(2n－3)·2n＋3.

2．解：(1)证明：∵an＋an＋1＝2n(n∈N*)①， ∴an＋1＋an＋2＝2(n＋1)②， ②－①，得an＋2－an＝2(n∈N*)． ∴{an}是公差为2的准等差数列． (2)由已知a1＝a，an＋an＋1＝2n(n∈N*)， ∴a1＋a2＝2×1，即a2＝2－a.

由(1)得a1，a3，a5，…是以a为首项，2为公差的等差数列． a2，a4，a6，…是以2－a为首项，2为公差的等差数列． 当n为偶数时，aa＋ nn＝2－ 21

×2＝n－a； 当n为奇数时，an＝a＋

n＋1 21

×2＝n＋a－1.

∴a n＋a－1，n为奇数，n＝

n－a，n为偶数.

S20＝a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a19＋a20 ＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(a19＋a20) ＝2×1＋2×3＋…＋2×19 ＝2 1＋19 ×102

＝200.

3．解：(1)当n＝1时，a1＝S1＝6， 当n≥2时，

a1n＝Sn－Sn－1＝ 2n2＋112n － 1 2 n－1 2＋11

2 n－1 ＝n＋5.

而当n＝1时，n＋5＝6， ∴an＝n＋5(n∈N*)． (2)cn＝

11

2a11 2a＝n－n－9 2n－1 2n＋1

＝12 1

1 2n－12n＋1 ， ∴Tn＝c1＋c2＋…＋cn

＝1

2 1－11113＋ 3－5＋…＋ 2n－112n＋1 ＝n

2n＋1

∵TTn＋1n1

n＋1－n＝2n＋32n＋1 2n＋3 2n＋1 0，

∴T＝T1

n单调递增，故(Tn)min1＝3令13k2 014，得k＜67113

，所以kmax＝671. (3)f(n)＝ n＋5 n＝2k－1，k∈N*

，

3n＋2 n＝2k，k∈N*

，

当m为奇数时，m＋15为偶数， 由f(m＋15)＝5f(m)

得3m＋47＝5m＋25，解得m＝11. 当m为偶数时，m＋15为奇数， 由f(m＋15)＝5f(m)，

得m＋20＝15m＋10，解得m5

7

N*(舍去)．

综上，存在唯一正整数m＝11，使得f(m＋15)＝5f(m)成立．