3-1 离散傅里叶级数

周期序列的DFS正变换和反变换：周期为N的周期序列–离散的、周期的

X ( k ) DFS[ x ( n )] x ( n )en 0

N 1

j

2 nk N

x ( n )WNnkn 0

N 1

周期也是N

1 x ( n ) IDFS[ X ( k )] N

X ( k )ek 0

N 1

j

2 nk N

1 N

X (k )Wk 0

N 1

nk N

其中： WN e

j

2 N

虽然n、k都是无穷多，但只有N个不同的频率。那么，每个k值代表多少模拟频率？?

DFS的图示说明x(n ) ... -N 0X (k )~

~

... N

n

-N

0

N

k

便于计算机处理

X k 与z变换的关系： x n 令x n 0其它n

X ( k ) x ( n )en 0

N 1

j

2 nk N

0 n N 1

只取一周期

对x n 作z变换: X z N 1 n 0 nk

n

x n z n x n z nn 0N k

N 1

X k x n WN X z z W

e

j

2 k N

X k 可看作是对 x n 的一个周期 x n 做z变换，然后将z变换 2 在z平面单位圆上按等间隔角 N抽样得到。第一个取样点在z=1处。

jIm 3 4 K=0 Re[z] 5 6|z|=1 7 N=8 2 1

X ( k ) x ( n)en 0

N 1

j

2 nk N

k=0 k= 1┇

直流 e j t┇

基波┇

k= n

e jn t

第n次谐波，……

例：周期序列 x ( n ) cos n展开为DFS,求其系数。 6~

解：方法1整理x(n)有(N=12):

1 x(n) e 2~~

j

2π n 12

1 e 2

j

2π n 12

1 e 2~

j

2 n 12

1 e 2

j

2 (11) n 12

与DFS定义对比知：在 k 1 12 r和 k 11 12 r时：

X ( k ) N/ 2 6,其他 X ( k ) 0。方法2由定义式直接计算，得

1 X (k ) [ e n 0 2~

11

j

2 n 12

e

j

2 kn 12

1 e 2

j

2 2 n j kn 12 12

e

]

2 11 ( k 1 ) n j ( k 11) n 1 11 j 2 1~ 12 12 X (k ) e e 2 n 0 2 n 0

x ( n ) cos n 6~N=12

1 1 e 1 1 e 2 2 j ( k 1 ) j ( k 11) 2 2 12 12 1 e 1 e 6, k 1 12r 6, k 11 12r 0,其它的k 6, k 1 12r 6

j

2 ( k 1 ) 12 12

j

2 ( k 11) 12 12

~ X ( k ) 6, k 11 12r 0,其它的k

-2 -1 0 1 2

11 12

n

-2 -1 0 1 2

11 12

k

例

x(n)= R2(n), r= 并作| X(k)|、 arg[X(k)]图。 解x(n)、 x(n)如图所示。x(n)

x(n)= x(n+4r),求X(k)、

1 0 1 2 3

x(n)

n

1

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

n

X ( k ) x ( n )en 0

N 1

j

2 nk N

N 1 kn X(k)= x (n) WN=n=0

n=0

1

2 j kn 4 e

= 1+e

j

2

k

X(0)= 1+1=2 j X(1)= 1+e 2=1 j= 2 e j /4

X(2)= 1+e j =1 1=03 j X(3)= 1+e 2=1+j= 2 ej /4

| X(k)|、 arg[X(k)]如图所示。 | X(k)| 2 2 2

0 1 2 3 4 5

k

arg[X(k)] /4

0 /4

1 2 3 4

k

例 (1)

x1(n)=

r=

x(n+10r),求X1(k),作|X1(k)|图。 (N=10)

(2) x2(n)= x(n+5r),求X2(k),作|X2(k)|图。 (N=5)r=

其中x(n)= R5(n)。(满了)解(1)~ x 1 ( n)

… 01 2 3 4 5 6 7 8 9 10

…

n

N只有5个值

kn X1(k)= x(n) WN=N 1n=0

n=0

4

2 kn j 10 e

=

1 e 1 e

j

2 5k 10

2 k j 10

=

5 k j e 10

5 5 k j k j 10 e 10 e

e

j

10

k

e

j

10

k

e

j

10

k

=

4 k j 10 e

sin ( k/2) sin ( k/10)=

2 k j 5 e

sin ( k/2) sin ( k/10)

或： X (k)= X(z) 11 e 1 e=

z=

ej

2 k N

= WN

k

1 z 5 2 = j 1 z 1 z= e N k 2 N=10, = k 10

=

2 5k j 10 j 2 k 10

2 k j e 5

sin ( k/2) sin ( k/10)

不是加到10,不能用等于10的那个算法

令k=0,1,2, ,9,可得 sin ( k/2) =5|X(0)|=|X(k)|= k=0 sin ( k/10) k=0

sin ( /2) |X(1)|=|X(k)|= 3.2361 k=1= sin ( /10) sin (2 /2) |X(2)|=|X(k)|=0 k=2= sin (2 /10) =|X(4)|=|X(6)|=|X(8)|=0 sin (3 /2) |X(3)|=|X(k)|= 1.2361 k=3= sin (3 /10)

sin (5 /2) |X(5)|=|X(k)|= 1= k=5 sin (5 /10) sin (7 /2) |X(7)|=|X(k)|= 1.2361 k=7= sin (7 /10) sin (9 /2) |X(9)|=|X(k)|= 3.2361 k=9= sin (9 /10)

X2(k)= X(z)1 e 1 e=

z=

2 e jN k

= WN

k

1 z 5 2 = 1 z 1 z= e j N k

=

2 5k j 5 j 2 k 5

2 N=5, = k 5

5

k=0

0 k=1,2,3,4

以10为周期进行延拓？方波信号，谱是什么？

以5为周期进行延拓，直流信号，谱是什么？ (5个点)若采样点不够，就不可能全面反映信号的频谱。

离散傅里叶级数的性质FS性1、线性：若

X 1 ( k ) DFS[ x1 ( n )]X 2 ( k ) DFS[ x2 ( n )]

则 DFS[ ax ( n ) bx ( n )] aX ( k ) bX ( k ) 1 2 1 2其中，

a, b为任意常数