2011年全国高中数学联赛江西省预赛试题及标准答案(2)

为此，采用赋值法：将白点改记为“+1”，而黑点记为“1-”，改变一次颜色，相当于将其赋值乘以1-，而改变a 个点的颜色，即相当于乘了a 个（偶数个）1-，由于(1)1a -=；

因此当多边形所有顶点赋值之积为1-，即总共有奇数个黑点，偶数个白点时，每次操作后，其赋值之积仍为1-，因此无论操作多少次，都不能将全部顶点变白．

但此时可以变成全黑，这是由于，对于偶数a ，则①②中的n 为奇数，设,A B 是多边形的两个相邻顶点，自点A 开始，按顺时针方向操作a 个顶点，再顺时针方向操作接下来的a 个顶点……当这样的操作进行m 次后，据②知，点A 的颜色被改变了偶数次（1n +次），从而颜色不变，而其余所有2010个顶点都改变了奇数次（n 次）状态，即都改变了颜色；再自点B 开始，按同样的方法操作m 次后，点B 的颜色不变，其余所有2010个顶点都改变了颜色；于是，经过上述2m 次操作后，多边形恰有,A B 两个相邻顶点都改变了颜色，其余所有2009个点的颜色不变．

现将这样的2m 次操作合并，称为“一轮操作”；每一轮操作，可以使黑白相邻的两点颜色互换，因此经过有限轮操作，总可使同色的点成为多边形的连续顶点；

于是当多边形开初总共有偶数个白点时，每一轮操作又可将相邻两个白点变成黑点，使得有限轮操作后，多边形所有顶点都成为黑色．

同理得，如果给定的正多边形开初总共有奇数个白点、偶数个黑点，经过有限次操作，可以使多边形顶点变成全白，而不能变成全黑；（只需将黑点赋值为“+1”，白点赋值为“1-”，证法便完全相同）．