2011年全国高中数学联赛江西省预赛试题及标准答案

文档均来自网络,如有侵权请联系我删除文档

1 / 8 2011年全国高中数学联赛江西省预赛试题

一、填空题（每小题10分，共80分）

1、2011是这样的一个四位数，它的各位数字之和为4；像这样各位数字之和为4的四位数总共有 个．

2、设数列{}n a 满足:121,2a a ==,且对于其中任三个连续项11,,n n n a a a -+,都有:11(1)(1)2n n n n a n a a n

-+-++=.则通项n a = ． 3、以抛物线2y x =上的一点()1,1M 为直角顶点，作抛物线的两个内接直角三角形MAB ?与MCD ?，则线段AB 与CD 的交点E 的坐标为 ．

4、设,,,1x y z R x y z +∈++=，则函数23(,,)f x y z xy z =的最大值是 ．

5、0000sin 6sin 42sin 66sin 78= ．

6、正三棱锥D ABC -的底面边长为4，侧棱长为8，过点A 作与侧棱,DB DC 都相交的截面AEF ?，那么，AEF ?周长的最小值是 ．

7、满足2272011x y +=的一组正整数(,)x y = ．

8、用()S n 表示正整数n 的各位数字之和，则2011

1()n S n ==∑ ．

二、解答题（共3题，合计70分）

9、（20分）、设0180A B C ++=，且满足：sin sin sin 1cos cos cos A B C A B C

++=++，求 cos 2cos 2cos 2cos cos cos A B C A B C

++++的值．

文档均来自网络,如有侵权请联系我删除文档

2 / 8 10、（25分）如图，A BC ?的内心为I ，,M N 分别是,AB AC 的中点，AB AC >，内切圆I 分别与边,BC CA 相切于,D E ；证明：,,MN BI DE 三线共点．

11、（25分）在电脑屏幕上给出一个正2011边形，它的顶点分别被涂成黑、白两色；某程序执行这样的操作：每次可选中多边形连续的a 个顶点（其中a 是小于2011的一个固定的正整数），一按鼠标键，将会使这a 个顶点“黑白颠倒”，即黑点变白，而白点变黑；

(1)、证明：如果a 为奇数，则可以经过有限次这样的操作，使得所有顶点都变成白色，也可以经过有限次这样的操作，使得所有顶点都变成黑色；

(2)、当a 为偶数时，是否也能经过有限次这样的操作，使得所有的顶点都变成一色？证明你的结论．

文档均来自网络,如有侵权请联系我删除文档

3 / 8 解 答

1、20．提示：这种四位数1234x x x x 的个数，就是不定方程12344x x x x +++=满足条件11x ≥，234,,0x x x ≥的整解的个数；即12343y x x x +++=的非负整解个数，其中

111y x =-，易知这种解有413341620C C -+-==个，即总共有

20个这样的四位数．（注：也可直接列举．）

2、23n

-． 提示：由条件得， 112(1)(1)n n n na n a n a -+=-++，

所以

11(1)()(1)()n n n n n a a n a a +-+-=--， 故1111

n n n n a a n a a n +---=-+，而211a a -=； 113212111221()12311113n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a n n n n n n +-+-------=

????-------=?????+- 2(1)n n =

+； 于是

12112()(1)1n n a a n n n n

--=

=---； 由此得 112211()()()12(1)123n n n n n a a a a a a a a n

n

---=-+-+

+-+=-+=-.

3、(1,2)-．提示：设221122(,),(,)A x x B x x ，则

文档均来自网络,如有侵权请联系我删除文档

4 / 8 2111222211,1

11,1MA MB x k x x x k x x -==+--=

=+- 22121212

AB

x x k x x x x -==+-， 直线AB 方程为 21121()()y x x x x x -=+-，

即1212()y x x x x x =+-，因为MA MB ⊥，则

12(1)(1)1x x ++=-，

即

12122()x x x x -=++，

代人方程得

122()(1)y x x x -=++，

于是点(1,2)-在直线AB 上；

同理，若设223344(,),(,)C x x D x x ，则CD 方程为

342()(1)y x x x -=++，

即点(1,2)-也在直线CD 上，因此交点E 的坐标为(1,2)E -．

4、1432

．提示：由

122333

x y z

y y z z z x =++=+++++≥ 所以，

623114276xy z ??≤ ????

， 即

23431123432

xy z ≤=?，

文档均来自网络,如有侵权请联系我删除文档

5 / 8 当1236y z x ===，即111,,632

x y z ===时取得等号． 5、116

．提示： 0000

000000

sin 6cos 48cos 24cos12cos6sin 6cos 48cos 24cos12cos6= 0000

000

000

sin12cos12cos 24cos 482cos 6sin 24cos 24cos 484cos 6

sin 48cos 488cos 6=== 00sin 96116cos 616

==． 6、11．提示：作三棱锥侧面展开图，易知EF ∥BC ，

且由周长最小，得1,,,A E F A 共线，于是等腰DEF AEB ??，4AE AB ==，

12

BE AB AB DA ==， 即2BE =，6DE =，

6384

EF DE BC DB ===， 所以3EF =，由14A F AE ==，则 1111AA AE EF FA =++=．

7、(38,9)．提示：由于2011是43N +形状的数，所以y 必为奇数，而x 为偶数， 设2x m =，21y n =+，代人得

2428(1)2004m n n ++=，

即

27(1)501m n n ++=. ①

而(1)n n +为偶数，则2

m 为奇数，设21m k =+，则 24(1)1m k k =++， A 1F E F

E D C B A

D

C B A

文档均来自网络,如有侵权请联系我删除文档

6 / 8 由①得，

(1)(1)71254n n k k +++?

=， ② 则(1)4

n n +为奇数，且,1n n +中恰有一个是4的倍数，当4n r =，为使(1)77(41)4

n n r r +?=+为奇数，且7(41)125r r +<，只有1r =，②成为 (1)35125k k ++=，

即(1)90k k +=，于是4,9,38,9n k x y ====；

若14n r +=，为使(1)77(41)4

n n r r +?=-为奇数，且7(41)125r r -<，只有1r =，②成为(1)21125k k ++=，即(1)104k k +=，它无整解；

于是(,)(38,9)x y =是唯一解：22

38792011+?=．

（另外，也可由x 为偶数出发，使 22220112009(2)7287(2)x x x -=--=?--

为7的倍数，那么2

2x -是7的倍数，故x 是73k ±形状的偶数，依次取1,3,5k =，检验相应的六个数即可．）

8、28072．提示：添加自然数0，这样并不改变问题性质；先考虑由0到999这一千个数，将它们全部用三位数表示，得到集{}000,001,,999M =，易知对于每个

{}0,1,,9a ∈，首位为a 的“三位数”恰有100个：00,01,

,99a a a ， 这样，所有三位数的首位数字和为

100(019)45100?+++=?.

再将M 中的每个数abc 的前两位数字互换，成为bac ，得到的一千个数的集合仍是M ， 又将M 中的每个数abc 的首末两位数字互换，成为cba ，得到的一千个数的集合也是M ，由此知

999999

10()()30045n n S n S n ====?∑∑．

今考虑四位数：在1000,1001,,1999中，首位（千位）上，共有一千个1，而在 0000,0001,,0999中，首位（千位）上，共有一千个0，因此

文档均来自网络,如有侵权请联系我删除文档

7 / 8 1999

1999999

100

()()10002()10006004528000n n n S n S n S n =====+=+?=∑∑∑； 其次，易算出，

20112000

()72n S n ==∑. 所以， 2011

201110()()28072n n S n S n ====∑∑ …… 此处隐藏：3613字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……