福建省高考文科数学第二轮：函数与导数题型小结

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1.高考考点 (1)导数概念及其几何意义. ① 了解导数概念的实际背景； ② 理解导数的几何意义. (2)导数的运算.

①能根据导数定义求函数y = C,y = x,y = x 2, 1 y = 的导数； x②能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则 运算法则求简单函数的导数； ③常见基本初等函数的导数公式； ④常用导数运算法则

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(3)导数在研究函数中的应用. ①了解函数单调性和导数的关系；能利用导 数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中 多项式函数不超过三次); ②了解函数在某点取得极值的必要条件和充分 条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多 项式函数不超过三次);会求闭区间上函数的最大 值、最小值(其中多项式函数不超过三次). 2.易错易漏 ①对导数概念以及导数概念的某些实际背景 (如瞬时速度，加速度，光滑曲线的切线的斜率)未 能认真理解；

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②求函数极值时，导数值为0的点是该点为极值点 的必要条件，但不是充分条件； ③求曲线在某一点处的切线与过某一点的切线的 差异和联系理解不到位； ④导数的运算法则记忆不准确、变形不熟悉，导致 计算失误、效率低下. 3.归纳总结 有意识地把导数与解析几何(特别是切线、最值),函数 的单调性，函数的极值、最值，二次函数，方程，不等 式，代数式的证明进行交汇、综合运用，重视导数的工 具性.解题中常用的方法有：公式法、图象法、转化法、 构造法等.

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考向预测1.高考中常以二小一大的形式出现。 1.高考中常以二小一大的形式出现。 高考中常以二小一大的形式出现 2.选择题、填空题主要考查函数的概念、单调性与奇偶性、函数图象、 2.选择题、填空题主要考查函数的概念、单调性与奇偶性、函数图象、 选择题 着 导数的几何意义等重要知识:关注函数知识的应用以及函数思想方法的渗透， 导数的几何意义等重要知识 力体现概念性、辨性和应用意识. 3.解答题大多以基本初等函数为载体，综合应用函数、导数、方程、不等式等 解答题大多以基本初等函数为载体，综合应用函数、导数、方程、 解答题大多以基本初等函数为载体 知识，并与数学思想方法紧密结合，对函数与方程思想、数形结合思想、分类 知识 讨论思想、有限与无限思想等进行较为深入的考查，体现了能力立意的命题原 则，显示了函数与导数的主干知识地位.解决函数与导数结合的问题，一般有 规范的方法，利用导数判断函数的单调性也有规定的步骤，往往不是简单地考 查公式的应用，而是与数学思想方法相结合，突出考查函数与方程思想、有限 与无限思想等，所考查的问题具有一

定的综合性.

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主考知识点： 主考知识点：●导数的三种几何意义： 导 意义： 1.平均变化率(曲线的切线斜率问题) 2.气球的膨胀率 3.高台跳水问题 ●常见八种基本初等函数的导数公式 常见八 常见 ( ; C ′ = 0 ( C 为常数); ( x n )′ = nx n 1 , n ∈ N * ) (sin x)′ = cos x ; (cos x)′ = sin x ;(e x )′ = e x ; (a x )′ = a x ln a ( a > 0 且 a ≠ 1) ; (ln x)′ =1 1 ; (loga x)′ = loga e ( a > 0 且 a ≠ 1) . x x

●常用导数运算法则 常用导数运算 常用导数运算法则 法则 1: [u ( x ) ± v ( x ) ]′ = u ′( x ) ± v ′( x ) . 法则 2: [u ( x ) v ( x ) ]′ = u ′( x ) v ( x ) + u ( x ) v ′( x ) . 法则 3: u ( x ) ′ v(x) = u ′( x ) v ( x ) u ( x ) v ′( x ) v2 (x)

(v( x) ≠ 0) .

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导数的概念及几何意义例 1: 已知函数 f (x) 的定义域为 R , 其导函数 f ′(x) 的图象如图所示， 则对于任意 x1, x2 ∈R( x1 ≠ x2 ) , 下列结论中正确的是 ①

f (x) < 0 恒成立；

② (x1 x2 )[ f (x1 ) f (x2 )] < 0 ; ③ ④

(x1 x2 )[ f (x1) f (x2 )] > 0 ;f( f( x1 + x2 f (x1 ) + f (x2 ) ; )> 2 2第 1 题图

x1 + x2 f (x1 ) + f (x2 ) . )< 2 2 A. ①③ B. ①③④⑤

C. ②④

D. ②⑤

解题策略：②③其实即为考查函数导数的定义可变式为

f ( x1 ) f ( x2 ) x1 x2

④⑤考查函数曲线切线的斜率变化情况

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例2:曲线f ( x ) = x + x 2在P0处的3

切线平行于直线y = 4x 1,则P0点的坐标为( ) C. (1, 0 ) 和( 1, 4) A. (1, 0 ) D. ( 2,8 ) 和( 1, 4) B. ( 2,8 )

解题策略：考查函数曲线在某点处切线的斜率， 注意其即为在该点处的导数值。 (提醒：常见的是 点在曲线上，若点不在曲线上应设切点坐标，利用 解方程组解决问题)

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导数的简单应用1.利用导数求函数单调性中的应用 导数求函数单调性中的应用例 3:设函数 f ( x) = x3 + ax 2 9 x 1(a < 0) .若曲线 y=f(x)的斜率 最小的切线与直线 12x+y=6 平行， 求:(1)a 的值； (2)函数 f(x)的单调区间.

解题策略:(1)注意斜率的最小值如何求得？即是 利用函数导数的最小值形成， 从而确定 a 的值； (2) 是在(1)的条件下求的。

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2.利用导数求函数的极值与最值问题 利用导数求函数的极值与最值问题例 4:已知函数 f ( x) = x 2 + 2 ln x . (Ⅰ)求函数 f ( x) 的最大值； (Ⅱ)若函数 f ( x) 与 g ( x) = x +a 有相同极值点，求实数 a 的值； x

解题策略:(1)主要考查函数导数的基本公式应用 以及利用单调性求函数最值的基本能力； (2)是在 (1)的条件下求的 g(x)的极值点，再与(1)相似 的逆思维过程。

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例 5: (12 厦门)已知函数 f ( x ) = a ( x

1 ) b ln x x

(

a, b ∈ R ) g ( x) = x2 . , (Ⅰ)若 a = 1 ,曲线 y = f ( x ) 在点 (1, f (1)) 处的切线与 y 轴垂直 求 b 的值； (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，求证： g ( x ) > f ( x ) 2 ln 2 ;

解题策略: 1)主要考查函数导数的基本公式应用以及利用 ( 导数的几何意义求待定系数的值； (2)是在(1)的条件下 求证： g ( x)

> f ( x) 2 ln 2 ,其实即是转化为求证：

h( x) = f ( x) g ( x) 的最值问题。

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导数中含参数的问题1.无穷区间恒成立问题：1)知参数求自变量例 6:已知函数 f ( x) =

a 3 3 2 x x + ( a + 1) x + 1 ,其中 a 为常数， 3 2

(1)已知函数 f ( x ) 在 x = 1 处取得极值，求 a 的值； (2)已知不等式 f '( x ) > x x a + 1 对于任意 a ∈ (0, +∞ ) 都成立，求实数 x 的取值范围。2

解题策略:(1)主要考查函数导数与极值的关系， 转化为解方程， 易失分在于所求 a 应检验； (2) 对于 是已知参数范围求自变量的范围题型，常用的方式 是利用“选择主元法”或是“分离参数法”来完成。

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