初三数学方程(组)与不等式(组)知识精讲 华东师大版

初三数学方程（组）与不等式（组）知识精讲 华东师大版

【同步教育信息】

一. 本周教学内容： 总复习（二）

方程（组）与不等式（组）

［知识要点］

（一）方程与方程（组）

1. 方程与方程（组）有关概念

（1）方程：含有未知数的等式。

（2）整式方程：重点研究一元一次方程（ax b 0，a 0）和一元二次方程（ax bx c 0，a 0）。

（3）分式方程（可化为一元一次方程的分式方程） （4）二元一次方程组

2. 方程（组）的解与解方程（组）

（1）方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解，只含有一个未知数的方程的解也叫做根。

（2）方程组的解：使方程组中每个方程左右两边的值都相等的所有未知数的值，叫做该方程组的解。

（3）解方程：求方程解的过程。 （4）等式的基本性质：

等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得的结果仍是等式； 等式两边都乘以（或除以）同一个数（除数不是零），所得的结果仍是等式。 （5）一元一次方程（包括含字母系数的一元一次方程）解法的一般步骤： 去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1

（6）一元二次方程的解法：直接开平方法，因式分解法，配方法，公式法； （7）一次方程组的解法：一次方程组通过代入消元或加减消元转化为一次方程来解决。 （8）可化为一元一次方程的分式方程的解法；分式方程通过去分母或换元转化为整式方程来解决，注意验根。

（9）二元一次方程组的解法：通过代入消元或加减消元转化为一元一次方程来解决。 ※3. 一元二次方程ax bx c 0(a 0)根的判别式。 b 4ac 0 方程有两个不相等的实数根 b 4ac 0 方程有两个相等的实数根

b 4ac 0 方程没有实数根 4. 应用问题

解应用题时，应该有两步检验，一是检验所求得的解是否为原方程（组）的解；二是检验它是否符合实际意义。

（1）列方程（组）解应用问题常用的基本数量关系： ①数量的和、差、倍、分；

②距离＝速度×时间，注意变式的情况；

③工作量＝工作效率×工作时间，注意变式的情况；

增长数

×100%； ④增长率

基数

222

2

2

⑤数字问题； ⑥面积问题。

（2）列方程（组）解应用问题的一般步骤：审、设、表、列、解、检、答。 （3）用方程的思想解综合性问题。

（二）不等式与不等式组

1. 不等式的解集与解不等式 （1）不等式的基本性质：

①不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。 ②不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。 ③不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。

（2）一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解的集合。 （3）求不等式的解集的过程，叫做解不等式。 2. 不等式组的解集与解不等式组

（1）几个含有同一个未知数的一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的一元一次不等式组的解集。

（2）求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组。 （3）解一元一次不等式组的步骤：

①分别求出不等式组中各个不等式的解集；

②利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集。 3. 应用问题

列一元一次不等式（组）解决实际问题的步骤：

（1）找出实际问题的不等关系，设定未知数，列出不等式（组）； （2）解不等式（组）；

（3）从不等式组的解集中求出符合题意的答案。

【典型例题】

2k 11

例1. 代数式与代数式k 3的值相等时，求k的取值。

34

分析：由代数式的值的意义，给定k的一个值，两个代数式都分别有不同的取值，若

令两代数式相等，求其字母的值，就用到了方程的思想。 根据题意，得：

2k 11

k 3 34

3

解得：2k 1 k 9

4

5

k 10 4

k 8

答：k的值为8。

说明：本题考察了方程的思想，根的意义及解一元一次方程。

2

例2. 如果a是关于x的方程x bx a 0的根，且a 0，那么a b的值是多少？

分析：由方程根的意义，将a代入其方程能使两边相等。 解：∵a是方程x2 bx a 0的根

2

a ab a 0，a a b 1 0 而a 0

a b 1 0 即a b 1

说明：本题考察了方程根的意义、因式分解等知识，同时还考察了恒等变形的能力。

例3. 解方程组

x y 3 3x 2y 5

1 2

简析：本题特点适用于代入消元和加减消元两种方法，若在平面直角坐标系中画出两个方程所代表的两条直线，然后标出交点坐标，也可以求出方程组的解，即为图象法解方程组。

解法一：（代入消元法） 由<1>得：x 3 y 3 把<3>代入<2>，得：

3 3 y 2y 5

9 3y 2y 5

y 4

把y 4代入<3>，得：

x 3 4

x 1

x 1

所以 是原方程组的解。

y 4

解法二：加减消元法

将<1>两边同时乘以3，得： 3x 3y 9 3 由<2>－<3>，得：y 4 把y 4代入<1>，得：

x 4 3

x 1

x 1

所以 是原方程组的解。

y 4

解法三：由<1>可得：y x 3

3x 5

由<2>可得：y

2

在同一个平面直角坐标系中作出一次函数y x 3和一次函数y 察图象得交点为（-1，-4）。

3x 5

的图象，观2

x 1

所以方程组的解是

y 4

说明：

代入消元法解二元一次方程组的一般步骤：

（1）在方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程变形成用含一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式（一般称这个等式为关系式）；

（2）将关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；

（3）解这个一元一次方程求得一个未知数的值，再将它代入关系式，求得另一个未知数的值；

（4）把求得的未知数的值用联立符号表示出来。 加减消元法解二元一次方程组的一般步骤：

（1）使方程组中准备消掉的未知数在两个方程中的系数的绝对值相等； （2）把两个方程的两边分别相加或相减，得到一个一元一次方程；

（3）解这个一元一次方程求得一个未知数的值，再将求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程，求出另一个未知数的值；

（4）把求得的两个未知数的值按字母顺序用联立符号表示出来。

图象法的使用不如上面两种方法普遍，它只对交点的横、纵坐标都是整数值时适宜，其他情况下得进行估值。

例4. 选择适当方法解下列方程： （1）(x 3) 25 （2）x x 5x 7x （3）2x 3x

2

2

22

1 0 8

分析：一元二次方程的解法有直接开平方法，因式分解法，配方法，公式法等。在解答时应根据题目特点，选择适当的方法，如：（1）适于使用直接开平方法；（2）使用因式分解法较为简捷；（3）可以使用配 …… 此处隐藏：7046字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……