08级高等数学A、B(上)AB卷参考答案

高等数学A、B(上)试题A参考答案与评分标准（090114）

一、单项选择题(每小题3分，共18分) 1:A 2: A 3:B 4:C 5: D 6:D 二、填空(每小题2分，共16分)

11xy y

3x c， 1：， 2：dx， 3：， 4

64!x xy

2

5：， 6：2， 7：， 8：ln(x c)。

4 8

三、计算题(每小题7分，共14分)

1.解当b 0,c 0,a R, 1分当b 0时,则c lim

x 0

a cosx

， 3分

ln(1 x3)

x

ln(1 x3)

故a-1 lim(a cosx) clim 0,即a 1, 5分

x 0x 0x

1 cosxx2/21

所以c lim lim2 7分

x 0ln(1 x3)x 0x2

x

dy1dy(t 1)2

|t 0 ， 2分 x 1 t 0， 22．解 ，在曲线(1,2)点的切线的斜率为k dx2dxt 2

1

切线方程为y 2 (x 1),即x 2y 5， 5分

2

d2y(t2 1)(2t2 2t 4)

。 7分 223

dx(t 2)四、计算题(每小题7分，共14分) 1．解

令t x sin2t，

原式 2 tsintdt 2tcost 2 costdt 2tcost 2sint c c

x3 1x

， 3分 2．解 当0 x 1时， f(x) t(x t)dt t(t x)dt

0x32

x

1

x21

， 5分 当x 1时，f(x) t(x t)dt

023

1

1

f(x)dx

1

1xx3 11

dx dx 。 7分

0236

五、计算题(每小题7分，共14分)

1．解 设曲线为y y(x)，切点为 (x,y)，由题意得到：y

分离变量ydy xdx，解得x2 y2 c 。 7分

y

1， 4分 x

2

解S

2

a

2

2a sin 8a

02

2

六、计算题(每小题8分，共16分)

1．解 特征方程为 r2 5r 4 0,r1 1,r2 4， Y c1ex c2e4x， 4分

210210

1是单根，设y* x(ax b)ex， a ,b ，y* (x2 )ex ， 7分

3939210

通解 y c1ex c2e4x (x2 )ex。 8分

39

2.解 设切点为(t,lnt),y

S(t) (lnt 1

26

1x

， 切线方程为 y lnt 1 ， 2分 xt

x16

lnx)dx 4lnt 6ln6 2ln2,2 t 6。 5分 tt

令S (t)

4161

2 0 t 4，且S (4) 0，S(4)为S(t)在[2,6]内的最小值 7分 tt4

所求切线方程为y ln4 1

x

8分 4

七、(8分)(1). 证明 f (x) |cosx| 0,x (n ,(n 1) ) 则

m f(n ) |cost|dt

k 1

n

n

k

(k 1)

|cost|dt n |cost|dt 2n,

M f((n 1) )

(n 1)

|cost|dt 2(n 1)

故此，当n x (n 1) 时，2n f(x) 2(n 1)。 5分 (2) lim

x 0

f(x)|cosx|

lim 1。 8分 x 0x1

高等数学A、B(上)试题B参考答案与评分标准（090210）

一、单项选择题(每小题3分，共18分)

1:A 2: B 3:C 4:D 5:D 6:B

二、填空(每小题2分，共16分)

1：e 1， 2：2， 3：1， 4：y 4x 2，

1x3

5：， 6：2， 7：k 1， 8：c1(x ) c2。

23

三、计算题(每小题7分，共14分

)

1.解:原式=x 2

2

lim

x x/21x1

lim

x 02x(ln(1 x) x)4x 0ln(1 x) x2

t/2 dytd2y1 t2 ， 4分 2．解 。 7分 dx2dx2(ln(1 t2)) 4t

四、计算题(每小题7分，共14分) 1. 解 两边对x求导得：

y sec2(y x) (y 1) 4分 y csc2(y x) dy csc2(y x)dx. 7分

x

2. 解 原式= tanx(s2exc dx1 ) xe2x= d xdtanx tanxdx axdenx2

1

2

1x1

tan2x ln|cosx| e2x e2x C (4+3分) 224

五、计算题(每小题7分，共14分) 1.解

令t 则

x ln(1 t2)

6

2tdt 2arctan21 t

4

。

,所以a ln2

14ab43

(ax2 bx)dx a b， 093232

2. 解 由于抛物线经过原点，得到c 0，

1

2

2

1621a2abb2

b b2， Vx (ax bx)dx ，故此旋转体的体积为V(b)

0451530523

令V (b)

2115

b 0,得b 2,又V (２) 0,所以V(2)为最小值， a 。 1515153

六、计算题(每小题8分，共16分) 1. 解 由条件得

1x1

xf(x) x x f(xu)du f(t)dt，

002

两边求导数得到：f (x)

f(x) e

xdx

1

12

f(x) 5分 xx

dx2 11

( xdx c) x( 2 2 c) 2 cx 8分

xx

2x

２解特征方程为r2 2r 0,得r 0,r 2,对应齐次方程通解Y c ce. 3分 1212

1

微分方程　y 2y e2x的一个特解　y１ axe2x,代入得a ，

21

微分方程　y 2y １　的一个特解　y１ bx,代入得b

2

通解 y c1 c2e2x

12xx

xe . 8分 22

f(x) f(a)f(b) f(a)f(x) f(a)f(b) f(x)

　等价于证 ３分 七、(8分)证明 x ab ax ab x

由中值定理得到：存在 １ (a,x), 2 (x,b)　使

５分 f(x) f(a)f(b) f(x)

　　 f ( １), f ( 2),

x ab x

由于f (x) 0,x (a,b)，得到　f (x)在(a,b)内单调增加，　故此f ( １) f ( 2), f(x) f(a)f(b) f(a)

　 8分

x ab a