从符号学的视角分析学生解排列组合题的错误

第１７卷第 期

２００８年８月

数学教育学报

ＪＯＵＲＮＡＬｏＦＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳＥＤＵＣＡ，Ｉ＇ＩＯＮ

Ｖ０１．１７，Ｎｏ．４Ａｕｇ．．２００８

从符号学的视角分析学生解排列组合题的错误

黄兴丰１，李士铸２

（１．常熟理工学院数学系，江苏常熟２１５５００；２．华东师范大学数学系，上海２０００６２）

摘要：学生在解决排列组合问题时，容易发生各种错误，主要有：

（１）误解了问题的文字表述；

（２）不理解自己所

用符号表示的意义，以及对符号脱离情境性的概括．这些错误的产生主要是由符号引起的．符号过程涉及３个主题——符号、对象和解释，解释是主体对符号的理解和认识，协调整个三元关系．

关键词：排列组合；符号；符号学；三元关系中图分类号：Ｇ４２４．１

文献标识码：Ａ文章编号：１００４－－９８９４（２００８）０４－－００３３－－０３

１问题提出

排列组合是离散数学的重要组成部分，是高中数学的重要内容之一．Ｂｅｒｎｏｕｌｌｉ称排列组合是“计数的艺术”．Ｋａｐｕｔ提出了在学校要教排列组合的３项理由：首先，排列组合问题可以用于各年级的教学，具有一定的挑战性，能培养学生的数学创造力；其次，可以培养学生计数、猜想、概括等思维能力，发展等价、序、函数、抽样等数学概念；第三，排列组合在各种领域中得到了广泛应用【１】．学生在解决排列组合问题时，普遍感到困难．Ｂａｔａｎｅｒｏ等人的研究表明，问题的情景、组合运算（可重复的排列、先组合后排列等）、运算类型（单一运算、复合运算）是影响学生解排列组合问题的主要因素，同时指出了学生解题常见的错误．错误主要有１２类：误解题意，忽视排列次序，出现重复，混淆对象，遗漏，列举不全，凭直觉回答，计算错误，忘记公式，代错参数，画错树形图，误用组合数性质隆３１．以上的研究主要是采用了统计的方法，对影响学生解题的因素和解题中出现的错误进行了分类，然而对于引起错误的原因，没能进一步研究．本研究企图以Ｇｏｄｉｎｏ等人提出的模型为分析工具，寻找学生在解排列组合题中产生错误的原因．

３分析框架

近年来，在数学教育中，研究者开始从符号学的角度来研究数学的教与学．他们认为。数学可被看成是一种符号化的过程，一方面要研究数学符号的功能，另一方面要研究符号所表示的数学对象．Ｇｏｄｉｎｏ等人提出的模型把数学知识分为６大类：语言（１ａｎｇｕａｇｅ）、情境（ｓｉｔｕａｔｉｏｎ）、方法（ａｃｔｉｏｎ）、概念（ｃｏｎｃｅｐｔ）、性质（ｐｒｏｐｅｒｔｙ）、论证（ａｒｇｕｍｅｎｔ）．它们之间的关系如图１所示．任何一种知识都有５个二元特征：

个人的——公认的（ｐｅｒｓｏｎａｌ．ｉｎｓｔｉｔｕｔｉｏｎａｌ），表面的——内

在的（ｏｓｔｅｎｓｉｖｅ－ｎｏｎｏｓｔｅｎｓｉｖｅ），单一的一一系统的

（ｅｌｅｍｅｎｔａｒｙ．ｓｙｓｔｅｍｉｃ），内容——表示（ｃｏｎｔｅｎｔ－ｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎ），具体——抽象（ｃｏｎｃｒｅｔｅ．ａｂｓｔｒａｃｔ）１５１．

２研究工具

Ｄｕｂｏｉｓ把排列组合问题分成３个基本模式：选择模式（强调抽样概念，如从ｍ个元素中选取ｎ个元素）、分配模式（如把ｍ个球分到ｎ个盒子中）和分解模式（把ｍ个元素分为ｎ个部分）（４１．本研究采用的取球问题（布袋中装有红、黄，蓝、绿３种同样大小的玻璃球各ｌＯ个，从中摸出４个玻璃球，摸出的球一共有多少种不同的组合？）就是从属于选择模式的组合题．由于题中同色的小球不作区分，不同颜色的小球需要区分，因此就构成了可重复的组合问题．可重复的组合问题在组合数学中可以用相应的公式解

图Ｉ模型

根据Ｇｏｄｉｎｏ的模型以及Ｂａｔａｎｅｍ的错误分类，我们建立如图２的分析框架．

问题ｃ情境，一｛塞薹蚕垂二三题

文字（缩记，如用“红”表示红球）

数字符号

符号（语言）一图表

组合符号

算术表示

答：ａ０。＝ｑ＝３５，如果这样的话就是单一运算．如果不

用公式，使用分类的方法进行计算，那就是复合运算．研究的对象是３名高三学生，用代号Ａ、Ｂ、Ｃ表示，其中Ａ、Ｃ来自省重点中学，Ａ是理科班的学生，ｃ是文科生，Ｂ是来自另一所市重点中学的理科学生．

收稿日期：２００８－０３－０８

作者简介：黄兴丰（１９７４＿一），男，江苏南通人，博士研究生，主要从事数学教育心理、中学教学教与学研究．

万方数据　

数学教育学报

第１７卷

假设变量（如考虑球的颜色、个数等）列举法

方法一

递推法分类代公式

排列次序抽取方式

性质或概念一

区分对象

组合数的性质两个计数原理

证明一再用其它方法验证

图２分析学生在解题中使用数学知识的框架

４结果与分析

４．１学生Ａ的解答与分析

学生Ａ首先利用文字来表示在组合中需要区分的对象，用数字来表示不需要区分对象的个数，如用“红、黄”来表示不同种类的球，用“０，１，２，３”表示同色球的个数．然后画出类似树形图列举，但是Ａ在图中只画出了两层，接下来采用了一个两列的表（图３）进行列举．我们可以看到学生在两列的表中，用空心圈和实心圈来表示剩余的蓝、绿球，在列出一半数据时，划出Ｓ形符号，就写出了答案“５种”．接着采用递推的方法完成了解答．学生Ａ在解题的过程中使用的知识有如下特征：（１）使用了许多个人的符号（如文字，数字，Ｓ形）、图（类似树形的图）、表（不完整的两列表）表示数学对象（不同色的球，同色球的个数），进行数学运算（列举）．

（２）虽然采用了许多个人的符号，但是这些

符号正确地表示了数学对象，进行了准确的数学运算．（３）在列举的过程中同时准确有效地使用了递推的方法，表明学生在列举的过程中，逐步掌握了结构化的知识．

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图３学生Ａ的解题记录

４．２学生Ｂ的解答与分析

学生Ｂ花了近１０分钟的时间做题，但没有完成．最后放弃的时候，他说：“我觉得很乱，不会做了．”那么学生Ｂ到底乱在哪里呢？让我们先看看他的解题记录．他先用“红、黄、蓝、绿”４个字来表示需要区分的４种球，再用数字“１０”表示每种球的数目．接下来企图对“摸出的４个玻璃球”的不同情况进行分类，把原问题分解为若干子问

万　

方数据题．那么Ｂ按照什么标准对“摸出的４个玻璃球”进行分类呢？图４的记录第三行是“摸出一种颜色的球……”，第四行是“摸出３个颜色相同，１个不同的……”．可见学生的分类同时考虑了两个条件：一是取出球的颜色种数，二是同种颜色球的个数．这样分类的结果应当是５类，即：４个球同一种颜色；４个球两种颜色，其中一种颜色的球３个，另一种颜色的球１个；４个球两种颜色，每种颜色的球各２个；４个球３种颜色 …… 此处隐藏：5884字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……