18学年高中数学第三章概率章末小结与测评教学案新人教A版必修3

内部文件，版权追溯 内部文件，版权追溯 第三章 概率

互斥事件和对立事件是针对两个事件而言的，它们既有区别又有联系．

在一次试验中，两个互斥事件最多只发生一个；而两个对立的事件则必有一个发生，但不可能同时发生．所以，两个事件互斥，它们未必对立；反之，两个事件对立，它们一定互斥．

若事件A1，A2，…，An彼此互斥，则P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)． 应用互斥事件的概率的加法公式解题时，一定要注意首先确定各个事件是否彼此互斥，然后求出各事件分别发生的概率，再求和．对于较复杂事件的概率，可以转化为求对立事件的概率．

求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和；二是先求其对立事件的概率，若A与B互为对立事件，则利用公式P(A)＝1－P(B)求解．

[典例1] 黄种人群中各种血型的人所占的比例如下：

1

血型 A B AB O 该血型的人所占比例(%) 28 29 8 35 已知同种血型的人可以输血，O型血可以输给任一种血型的人，其他不同血型的人不能互相输血，张三是B型血，若张三因病需要输血，问：

(1)任找一个人，其血可以输给张三的概率是多少？ (2)任找一个人，其血不能输给张三的概率是多少？

解：(1)对任一人，其血型为A，B，AB，O的事件分别记为A′，B′，C′，D′，由已知，有P(A′)＝0.28，P(B′)＝0.29，P(C′)＝0.08，P(D′)＝0.35，因为B，O型血可以输给张三，所以“任找一人，其血可以输给张三”为事件B′∪D′.依据互斥事件概率的加法公式，有P(B′∪D′)＝P(B′)＋P(D′)＝0.29＋0.35＝0.64.

(2)法一：由于A，AB型血不能输给B型血的人，所以“任找一人，其血不能输给张三”为事件A′∪C′，依据互斥事件概率的加法公式，有P(A′∪C′)＝P(C′)＋P(A′)＝0.28＋0.08＝0.36.

法二：因为事件“任找一人，其血可以输给张三”与事件“任找一人，其血不能输给张三”是对立事件，所以由对立事件的概率公式，有P(A′∪C′)＝1－P(B′∪D′)＝1－[P(B′)＋P(D′)]＝1－0.64＝0.36.

[对点训练]

1．某商场有奖销售中，购满100元商品得一张奖券，多购多得，每1 000张奖券为一个开奖单位．设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，求：

(1)P(A)，P(B)，P(C)； (2)抽取1张奖券中奖的概率；

(3)抽取1张奖券不中特等奖或一等奖的概率．

解：(1)∵每1 000张奖券中设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个， 1101∴P(A)＝，P(B)＝＝，

1 0001 000100

P(C)＝

501＝. 1 00020

(2)设“抽取1张奖券中奖”为事件D，则

P(D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)

＝＝

111＋＋ 1 0001002061

. 1 000

(3)设“抽取1张奖券不中特等奖或一等奖”为事件E，则

2

P(E)＝1－P(A)－P(B)＝1－

11989－＝. 1 0001001 000

古典概型是一种最基本的概型，也是学习其他概型的基础，在高考题中，经常出现此种概型的题目，解题时要紧紧抓住古典概型的两个基本特征，即有限性和等可能性．

对于古典概型概率的计算，关键是分清基本事件个数n与事件A中包含的结果数m，有时需用列举法把基本事件一一列举出来，再利用公式P(A)＝求出事件的概率，这是一个形象、直观的好方法，但列举时必须按某一顺序做到不重复、不遗漏．

[典例2] 一辆小客车上有5个座位，其座位号为1,2,3,4,5，乘客P1，P2，P3，P4，P5 的座位号分别为1,2,3,4,5，他们按照座位号从小到大的顺序先后上车，乘客P1 因身体原因没有坐自己的1号座位，这时司机要求余下的乘客按以下规则就座，如果自己的座位空着，就只能坐自己的座位，如果自己的座位已有乘客就坐，就在这5个座位的剩余空位中任意选择座位．

(1)若乘客P1坐到了3号座位，其他乘客按规则就座，此时共有4种坐法，下表给出了其中两种坐法，请填入余下两种坐法(将乘客就座的座位号填入表格空格处)；

(2)若乘客P1坐在了2号座位，其他的乘客按规则就座，求乘客P5 坐到5号座位的概率.

乘客 mnP1 3 P2 2 2 P3 1 4 P4 4 5 P5 5 1 座位号 3 解：(1)余下两种坐法如下表所示： 乘客 座位号 P1 3 3 P2 2 2 P3 4 5 P4 1 4 P5 5 1 (2)若乘客P1 坐到了2号座位，其他乘客按规则就坐． 则所有可能的坐法可用下表表示为：

乘客 P1 2 P2 1 3 3 P3 3 1 4 P4 4 4 1 P5 5 5 5 座位号 2 2 3

2 2 2 2 2 于是，所有可能的坐法共8种． 3 3 4 4 5 4 5 3 3 3 5 4 1 5 4 1 1 5 1 1 设“乘客P5 坐到5号座位”为事件A，则事件A中的基本事件的个数为4. 41

所以P(A)＝＝. 82

1

乘客P5 坐到5号座位的概率是.

2[对点训练]

2．现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答．试求： (1)所取的2道题都是甲类题的概率； (2)所取的2道题不是同一类题的概率．

解：(1)将4道甲类题依次编号为1,2,3,4；2道乙类题依次编号为5,6.任取2道题，基本事件为：{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,5}，{1,6}，{2,3}，{2,4}，{2,5}，{2,6}，{3,4}，{3,5}，{3,6}，{4,5}，{4,6}，{5,6}，共15个，而且这些基本事件的出现是等可能的．

用A表示“都是甲类题”这一事件，则A包含的基本事件有{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，62{2,4}，{3,4}，共6个，所以P(A)＝＝.

155

(2)基本事件同(1)，用B表示“不是同一类题”这一事件，则B包含的基本事件有{1,5}，8{1,6}，{2,5}，{2,6}，{3,5}，{3,6}，{4,5}，{4,6}，共8个，所以P(B)＝.

15

若试验同时具有基本事件的无限性和每个事件发生的等可能性两个特征，则此试验为几何概型，由于其结果的无限性，概率就不能应用P(A)＝求解，而需转化为几何度量(如长度、面积、体积等)的比值求解，体现了数形结合的数学思想．

[典例3] 已知关于x的一元二次方程x－2(a－2)x－b＋16＝0.

(1)若a、b是一枚骰子先后投掷两次所得到的点数，求方程有两个正实数根的概率； (2)若a∈[2,6]，b∈[0,4]，求一元二次方程没有实数根的概率．

解：(1)基本事件(a，b)共有36个，且a，b∈{1,2,3,4,5,6}，方程有两个正实数根等价于a－2>0,16－b>0，Δ≥0，即a>2，－4

设“一元二次方程有两个正实数根”为事件A，则事件A所包含的基本事件为(6,1)，

4

2

2

2

2

2

mn(6,2)，(6,3)，(5,3)共4个，

41

故所求的概率为P(A)＝＝.

369

(2)试验的全部结果构成区域Ω＝{(a，b)|2≤a≤6,0≤b≤4}，设“一元二次方程无实数根”为事件B，则构成事件B的区域为B＝{(a，b)|2≤a≤6,0≤b≤4，(a－2)＋b<16}，如图可知构成事件Ω的区域面积为S(Ω)＝16.

2

2

14ππ2

构成事件B的区域面积为：S(B)＝×π×4＝4π，故所求的概率为P(B)＝＝. 4164[对点训练]

3．设有一个等边三角形网格，其中各个最小等边三角形的边长都是43 cm.现用直径为2 cm的硬币投掷到此网格上，求硬币落下后与格线没有公共点的概率．

解：记事件A＝“硬币落下后与格线无公共点”，则硬币圆心落在如图所示的小三角形内，小三角形的边长为23.

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