定积分在生活中的应用(5)

( v(t) ≥0) 在时间区间[a,b]上的定积分，即 s??v(t)dt[8]

ab

例 1、一辆汽车的速度一时间曲线如图所示．求汽车在这1 min 行驶的路程．

解：由速度一时间曲线可知：

?3t,0?t?10,?v(t)??30,10?t?40

??1.5t?90,40?t?60.?图8

因此汽车在这 1 min 行驶的路程是：

s??3tdt?[?30dt??(?1.5t?90)dt

010401040603324060?t2|10?30t|?(?t?90t)|0104024

?150?900?300=1350(m)

答：汽车在这 1 min 行驶的路程是 1350m .

3.2定积分在变力作功的应用

一物体在恒力F（单位：N）的作用下做直线运动，如果物体沿着与F相同的方向移（单位：m)，则力F所作的功为W=Fs [9]

探究

如果物体在变力 F(x）的作用下做直线运动，并且物体沿着与 F (x) 相同的方向从x =a 移动到x=b (a

与求曲边梯形的面积和求变速直线运动的路程一样，可以用“四步曲”解决变力作功问题．可以得到

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W??F(x)dx

ab

图9

例2 设40N的力使一弹簧从原长10cm拉长到15cm．现要把弹簧由15cm拉长到25cm，需作多少功？

解 以弹簧所在直线为x轴，原点O为弹簧不受力时一端的位置．根据胡克定律，当把弹簧拉长xm时，所需的力为

F(x)?kx，

（1）

其中是k是常数，为弹性系数

根据题意得，当把弹簧由原长10cm拉长到15cm时，拉伸了0.05m，把，得 x?0.05F(0.05)?40代入式（1）

所以

40?0.05k，k?800，

F(x)?800x．

因此当把弹簧由15cm拉长到25cm，即x从x?0.05变到x?0.15时，所需作的功为

W??0.150.052?800xdx??400x??0.150.05?8．

3.3定积分在在电学中的应用

例3、有一均匀带电圆盘，其半径为R，电荷面密度为?（如下图），求圆盘轴线

上与盘心O相距为x的任一给定点P处的场强？

分析：圆盘带电均匀分布，可以把圆盘分成许多同心的细圆环。分成的细圆环同样也是均匀带电的，如果知道各细圆环在点P处的场强，我们可以同样利用微元法在细圆环上任取微小的电荷元，求出每一电荷元在点P的场强，那么由场强叠加原理，最后即可求出圆盘在点P处的总场强。

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解：从圆盘上任取一半径为r，宽度为dr的细圆环，因为圆盘的面密度??dq，dS图10

则细圆环所带的电荷量为dq??2?rdr.那么我们先来计算一下这个圆环(假设带电量为q)在P点激发的场强。如下图所示，在圆环上任取长度元dl，电荷线密度??

dq?1qdl?dq在P点处所激发的场强为：dE?r?d 334??0r4??02?rd1图11

dqqq，则dl上所带的电荷量为：dq??dl

dl2?r2?r?式中d是从dl指向P点的矢量，其大小d?x2?r2，由于圆环上各电荷元在P点激发的场强dE的方向各不相同，为此把dE分解为平行于X轴线的分量dE//和垂直于轴线的分量dE?。根据对称性，各电荷元的场强的分矢量dE?相互抵消。所以P点的合场强是平行于X轴的那些分矢量dE//之和，即

?E??dEcos?i??1qcos?d?1q1x2?r?dli?dli 2?2?04??02?rdd4??02?rdd18

??qx?qxi?i34??0d34??0(x2?r2)2

从而，带电细圆环在P点激发的场强为：

dE?1xdq4??0(x2?r2)32?i?1x?2?r4??0(x2?r2)32?dri

那么，带电圆盘E就是这些带电细小圆环所激发的场强的矢量和，即

????2?xRr??1?1??i E??dE?dri?2232?0224??02?0?(x?r)1?Rx?????2?0?x1??R2?x2????i?

?场强E的方向与圆盘相垂直，其指向则视?的正负而定，??0，E的方向与i同

?i向；??0，E与反向。

4定积分在数学应用的现状

：

探索定积分在几何中的应用，使定积分应用于实际问题，很多问题都可以迎刃而解。本文参考文献包括高等教育出版社出版的《数学分析》上下册，和《高等数学》上下册。但是这两种教材有不尽如人意的地方。例如,在平面图形的定积分区域计算方面,不是直接给出公式,而仅仅是通过例题给出示范，而且给出的公式与其它公式不容易区分,教材中没有明确的指出这些公式之间之间有何不同,这些公式怎么用以及为什么要这么用。而我所参考的文献《高等数学同步精讲上册》就填补了这两本教材不足的地方，方便了我以后的学习和研究。 …… 此处隐藏：91字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……