定积分在生活中的应用

目录

1.定积分的概述................................................................................................................................ 2

1.1定积分的定义 ..................................................................................................................... 2 1.2定积分的性质 ..................................................................................................................... 3 1.3定理................................................................................................................................... 10 1.4方法................................................................................................................................... 10 2.定积分的应用.............................................................................................................................. 11

2.1计算平面图形面积、旋转体体积、曲线弧长上的应用 ............................................... 11 2.2定积分在物理中的应用 ................................................................................................... 15 6小结 ............................................................................................................................................. 20 致谢 ................................................................................................................................................ 20 英文翻译部分................................................................................................................................. 21

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定积分在生活中的应用

姓名： 学号：201004110110 指导老师：胡业刚

摘要:定积分在高校中是很重要的组成部分，计算与应用程序开发，导出行星三大定律得益于牛顿的微积分，定积分在生活中具有广泛的应用。从那时候起，定积分大大促进了数学微积分的发展，以及天文学、物理学、化学等科学的大力发展。伴随着工程学、经济学和人类知识的大力发展，微积分在指导人类走向认知的过程中发挥着越来越重要的作用。 关键词：微元法; 定积分; 数列极限

前言::定积分在高校中是很重要的组成部分，计算与应用程序开发，导出行

星三大定律得益于牛顿的微积分，定积分在生活中具有广泛的应用。从那时候起，定积分大大促进了数学微积分的发展，以及天文学、物理学、化学等科学的大力发展。伴随着工程学、经济学和人类知识的大力发展，微积分在指导人类走向认知的过程中发挥着越来越重要的作用。

1.定积分的概述

1.1定积分的定义

设函数f?x?在区间?a,b?上有界，在?a,b?中任意插入若干个分点

a?x0?x1???xn?1?xn?b， 把区间?a,b?分成n个小区间：

有?x0,x1?,?x1,x2?,?,?xn?1,xn?,且

各个小区间的长度依次为?x1?x1?x0，?x2?x2?x1，?，?xn?xn?xn?1。在每个小区间?xi?1,xi?上任取一点?i，作函数f??i?与小区间长度?xi的乘积f??i??xi（i?1,2,?,n），并作出和S??f??i??xi。记P?max??x1,?x2,?,?xn?，如果

i?1n不论对?a,b?怎样分法，也不论在小区间?xi?1,xi?上点?i怎样取法，只要当P?0时，和S总趋于确定的极限I，这时我们称这个极限I为函数f?x?在区间?a,b?上

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的定积分（简称积分），记作?f?x?dx，即

ab?f?x?dx=I=lim?f????xaP?0ii?1bni公式（1）

[1]

其中f?x?叫做被积函数，f?x?dx叫做被积表达式，x叫做积分变量，a叫做积分下限，b叫做积分上限，??a,b?叫做积分区间。

1.2定积分的性质

性质1 若f在[a,b]上可积，k为常数，则kf在[a,b]上也可积，且

?bbakf?x?dx?k?af?x?dx.1

公式（2） 证 当k=0时结纶显然成立.

当k?0时,由于 nn

?kf??i??xi?kJ?k.i?1?f??i??xi?J,

i?1其中J=

?baf???d?,因此当f在[a,b]上可积时,由定义,??0存在,??当0T,?时? ,n

?f??i??xi?J??i?1k,

从而 ?nkf??i??xi?kJ??.

i?1即kf在［a,b］上可积，且

?bakf?x?dx?kJ?k?baf?x?dx.

性质２ 若f﹑g都在［a,b］可积，则f?g在［a,b］上也可积，且

?ba??f?x??g?x??b?dx??af?x?dx???b1

ag?x?dx. 公式（3）

证明与性质１类同。

注1 性质１与性质２是定积分的线性性质，合起来即为

任给

3

??f?a?b?x????g???x?d?x?ba??fb?x??d?xa?, gxdx其中?﹑?为常数。

注2 在f，g，h=f+g(或f-g)三个函数中，只要有任意两个在[a,b]上可积，则另外一个在[a,b]上可积.

在f，g，h=f+g(或f-g)三个函数中，只要有一个在[a,b]上可积，一个在[a,b]

上不可积， 则另外一个在[a,b]上必不可积.

性质３ 若f﹑g都在［a,b］上可积，则f·g在［a,b］上也可积。 证 由f、g都在［a,b］上可积，从而都有界，设

Ａ＝

supf?x?, Ｂ?supg?x?,

???a,b????a,b?且Ａ＞０，Ｂ＞０（否则f、g中至少有一个恒为零值函数，于是f、g亦为零值函数，结论显然成立）。

任给??0,由f、g可积，必分别存在分割T'、T\，使得

??if?xi?T'?2B,

?T\?ig?xi??2A.

令T?T'?T\（表示把T?、T??的所有分割点合并而成的一个新的分割T）。对于[a,b]上T所属的每一个?i，有

?f.g? ?supf????g?????f?????g?????

??,??????i??,?????isup??g??'??f?????f??????f??????g?????g???????

fg ?B?i?A?i.

利用§3习题第1题，可知

??Tf.g??i?B??if??i?A??ig??i

TA ?B??T'fi??i?A??ig??i

T?? ?B?这就证得f·g在[a,b]上可积.

注 在一般情形下

?2B?A??2A??,

?af???g???dx??af???dx??ag???dx.

g在[a,b]上可积. f4

bbb思考：有没有相除后可积的性质？

若f﹑g都在［a,b］上可积，|f(x)|?m>0,x?[a,b],则

事实上，由条件可证上可积.

1g1在[a,b]上可积(本节习题第7题).再由性质3知??g在[a,b]fff性质4 f在[a,b]上可积的充要条件是：任给c?[a,b]，在[a,c]与[c,b ]上都可积。此时又有等式

cb1

公式（4） fxdx?fxdx?fxdx???????a?a?cb 证 [充分性] 由于f在[a,c]与[c,b]上都可积，故任给??0,分别存在对[a,c]与[c,b]的分割T'与T\，使得

?? ?'??'?,?\??\??ii?ii.

T'2T\2现令T?T'?T\,它是[a,b]的一个分割,且有

??????????????????????.

iiiiiiTT'T\由此证得f在[a,b]上可积.

[必要性] 已知f在[a,b]上可积,故任给??0,存在对[a,b]的某分割T,使得

????Ti??.在T上再增加一个分点C,得到一个新的分割T?.由§3习题第一题,又有 < …… 此处隐藏：2537字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……