定积分在生活中的应用(4)

?baf?x?dx=???f????t????'?t?dt 公式（12）

[6]

上面的公式叫做定积分的换元公式.

定积分的分部积分法

根据不定积分的分部积分法,有

?u?x?v'?x?dx? ???u?x?v'?x?dx??baba

ba

???u?x?v?x???u'?x?v?x?dx??bau?x?v?x??????

简写为

??abv?x?u'?x?dx

uv'dx?uv???? =

bbbaaavu'dx

或

?baudv=

?uv???vdu

ba[7]

公式（13）

2.定积分的应用

2.1计算平面图形面积的应用

利用定积分计算平面图形的面积

设连续函数f(x)和g(x)满足条件g(x)?f(x)，x?[a,b]．求曲线y?f(x)，（如图3） y?g(x)及直线x?a,x?b所围成的平面图形的面积S．解法步骤：

第一步：在区间[a,b]上任取一小区间[x,x?dx]，并考虑它上面的图形的面积，这块面积可用以[f(x)?g(x)]为高，以dx为底的矩形面积近似，于是

dS?[f(x)?g(x)]dx．

第二步：在区间[a,b]上将dS无限求和，

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得到S??[f(x)?g(x)]dx.

ab上面所诉方法是以x为积分变量进行微元，再求得所围成图形的面积；我们还可以将y作为积分变量进行微元，再求围成的面积。由连续曲线x??(y)、x??(y)其中?(y)??(y)与直线y?c、y?d所围成的平面图形（图3）的面积为：

S??[?(y)??(y)]dy

cd图3

例1 求由曲线y?sinx，y?cosx及两直线x?0，x??所围成的图形的面积A．

图4

解 作出图形，如下图所示，在[0,?]上，曲线y?sinx与y?cosx的交点为

图5

?2(,)；42

取x为积分变量，积分区间为[0,?]．从图中可以看出，所围成的图形可以分成两部分；在区间[0,?]上的面积A1和区间[,?]上的面积A2分别为 44??A1??4(cosx?sinx)dx，

0A2???(sinx?cosx)dx，

4?所以，所求图形的面积为

?40A?A1?A2=?(cosx?sinx)dx+??(sinx?cosx)dx

4?

??sinx?cosx?04???cosx?sinx????22．

4?x2y2例2 求椭圆2?2?1的面积.

ab12

解 椭圆是关于x轴,y轴都对称,所以所求面积为第一象限部分的面积的4倍,即

S?4S1?4?ydx

0a 利用椭圆的参数方程

?x?acost ??y?bsint则应用定积分的换元法,dx??asintdt,且当x?0时,t?S?4??bsint(?acost)dt20?2,x?a时,t?0,于是

??4ab?2sin2tdt0??4ab?201?cos2tdt2

?t1??4ab??sin2t?2??ab?24?0旋转体体积的应用

?2.2旋转体体积的应用 求旋转体体积

求一个立体图形的体积，我们也可以用类似求平面图形面积的思想，例如一个木块的体积，我们可以将此木块来作分割T:a?x0?x1????xn?b划分成很多基本的小块，每一块的厚度可以为?xi(i?1,2,?,n)，假设每一个基本的小块横切面积为A(xi)(i?1,2,?,n)，A(x)为?a,b?上连续函数，那么此小块的体积大约是A(xi)?xi，将所有的小块都加起来，再令T?0，我们就可以得到其体积：

V?limT?0?A(xi)?xi??A(x)dx 6

i?1anb

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例2 求由曲线xy?4, 直线 x?1,x?4,y?0绕x轴旋转一周而形成的立体体积.

解 先画图形，因为图形绕x轴旋转，所以取x为积分变量，x的变化区间为[1,4]，相应于[1，4]上任取一子区间[x,x+dx]的小窄条，绕x轴旋转而形成的小旋转体体积，可用高为dx，底面积为πy2的小圆柱体体积近似代替， 即体积微元为

4dV=πy2dx=π()2dx,

xy 然后体积 xy=4 V=π=16π??414()2dx x1dx x24141O 1 x x+dx 4 图6

x 1??16πx=12π.

2.3曲线弧长上的应用 求曲线的弧长

设曲线y?f(x)在?a,b?上有一阶连续导数（如下图）,利用微元法，取x为积分变量，在?a,b?上任取小区间?x,x?dx?，切线上相应小区间的小段MT的长度近似代替一段小弧MN的长度，即lMN?ds.得弧长微元为：

ds?MT?(dx)2?(dy)2?1?(y?)2dx,再对其积分，

则曲线的弧长为：s??ds??abba1?(y?)2dx??1?[f?(x)]2dx

ab?x??(t)参数方程表示的函数的弧长计算，设曲线?上t???,??一段的弧长.这时

?y??(t)弧长微元为：

ds??dx?2??dy?2?dx??dy???????dt即ds???2?t????2?t?dt ?dt??dt?????22则曲线的弧长为：s??ds??[??(t)]2?[??(t)]2dt4

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2例3 (1)求曲线 y?x2上从0到3一段

33弧的长度 解 由公式 s=?ba图7

1?y?2dx （ a?b）知,弧长为

30s=?

301?y?dx=?221?xdx=(1?x)23330=

16214?=. 333(2)求摆线

?x?a(t?sint), ?y?a(1?cost)?在0?t?2?上的一段弧的长度（a?0）．

解 取t为积分变量，积分区间为[0,2?]．由摆线的参数方程，得

x??a(1?cost)，y??asint， x?2?y?2?a2(1?cost)2?a2sin2t

t?a2(1?cost)?2a|sin|．

22?tt2a|sin|dt??2asindt

0222?于是，由公式（16-13），在0?t?2?上的一段弧的长度为

s??2?0

t???4a??cos??8a

2?0?3定积分在物理中的应用

定积分在物理学中应用,可以说是定积分最重要的应用之一,正是由于微积分的发展,使得物理学中精确测量,计算成为可能,从而使物理学得到长足的发展。

3.1求变速直线运动的路程

我们知道，作变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数v=v (t)

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