定积分在生活中的应用(2)

注 性质4及公式(3)称为关于积分区间的可加性. 当f?x??0时,(3)式的几何意义就是曲边梯形面积的 可加性.如图1所示,曲边梯形AabB的面积等于 曲边梯形AacC的面积与CcbB的面积之和. 按定积分的定义,记号

图1

?af?x?dx只有当a＜b时才

b有意义,而当a=b或 a＞b时本来是没有意义的.但为了 运用上的方便,对它作如下规定: 规定1 当a=b时，令

?aaf(x)dx?0;

b 规定2 当a＞b时，令

?af(x)dx???f(x)dx.

ba 有了这个规定之后，等式（3）对于a、b、c的任何大小顺序都能成立。例如，当 a＜b＜c时，只要f在[a，c]上可积，则有

?cabbcc?f(x)dx??f(x)dx??f(x)dx?f(x)dx?f(x)dx ???bc??a??b =

?baf(x)dx.

性质5 设f为[a，b]上的可积函数。若f(x)?0,x??a,b?,则

?ba f(x)dx?0. 1 公式（5）

证 由于在[a，b]上f????0，因此f的任一积分和都为非负。由f在[a，b]上可积，则有

?baf(x)dx?limT?0i?1?f(?)?xini?0.

推论（积分不等式性）若f与g为[a，b]上的两个可积函数，且f(x)?g(x),x?[a，b]，则有

?ba f(x)dx??g(x)dx. 1 公式（6）

ab 证 令F(x)?g(x)?f(x)?0,x?[a，b]，由性质2知道F在[a，b]上可积，且由性质5推得

0?不等式（5）得证.

性质6 若f在[a，b]上可积，则f在[a，b]上也可积，，且

?baF(x)dx??g(x)dx??f(x)dx,

aabb6

?baf(x)dx??f(x)dx.1 公式（7）

ab证 由于f在[a，b]上可积，故任给ε＞0，存在某分割T，使得对值不等式

f(x?)?f(x??)?f(x?)?f(x??),可得知?i

f??Tfi?xi??.由绝

??if,于是有

??Tfi?xi???if?xi??.

T从而证得f在[a,b]可积。

再由不等式?f?x??f?x??f?x?,应用性质5（推论），即证得公式（7）成立。 注 这个性质的逆命题一般不成立，例如 f(x???1,x为有理数,??1,x为无理数

在[0，1]上不可积（类似于狄利克雷函数）；但f(x)?1,它在[0，1]上可积。 例1 求

?2?2f(x)dx,其中

?2x?1,?2?x?0,f(x)???x ?e,0?x?2.

解 对于分段函数的定积分，通常利用积分区间可加性来计算，即

?2?2f(x)dx??f(x)dx??f(x)dx

?20020??(2x?1)dx??e?xdx?202 ?(x2?x)0?2?(?e?x)2 0??2?e?2?1??1?e?2注 上述解法中取

?0?2f(x)dx??(2x?1)dx,其中被积函数在x=0处的值已由原来的

?20f(0)?e?xx?0?1改为(2x?1)x?0??1,由§3习题第3题知道这一改动并不影响f在[-2，0]上的可积性和定积分的值。

例2 证明：若若f﹑g都在［a,b］上可积，则f·g在［a,b］上也可积在[a,b]上连续，且f(x)?0,?baf(x)dx?0,则f(x)?0,x??a,b?.

证 用反证法。假如有某x0∈[a,b]使f?x0??0,则由连续函数的局部保号性，存在

7

?0的某邻域??0??,?0??f?x??f??0?2b?，使在其中???0?a或x0?b时则为右邻域或左邻域?0.由性质4和性质5推知

?af???dx??a?0???0??bf???dx??f???dx??f???dx

?0???0?? ?0?x0??f??0???0??2dx?0?f??0???0,

这与假设

?af???dx?0相矛盾。所以f?x??0,x??a,b?. 。

b注 从此例证明中看到，即使f为一非负可积函数，只要它在某一点x0处连续，且

bf?x0??0,则必有?f?x?dx?0.

a定理1 (积分第一中值定理) 若f在[a,b]上连续，则至少存在一点??[a,b]，使得

?a,

b（8） f?x?dx?f????b?a?. [2] 公式

证 由于f在[a,b]上连续，因此存在最大值M和最小值m.由

m?f?x??M,x?[a,b]使用积分不等式性质可以得到

bm?b?a???f?x?dx?M?b?a?,或者

ab1m?f?x?dx?M.

b?a?a再由连续函数的介值性，至少存在一点??[a,b],使得 f(?)?1bf(x)dx, ?ab?a这就证得公式（8）成立。 …… 此处隐藏：123字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……