定积分在生活中的应用(3)

积分第一中值定理的几何意义：如图2所示，若非负数f在[a,b]上是连续的，则y=f(?)在[a,b]上的曲边梯形面积等于以（2）所示的f???为高，[a,b]为底的矩形面积。

图2

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而

b1f?x?dx则可理解为f?x?在区间[a,b]上所有函数值的平均值。通常这是有限个?b?aa数的算术平均值的推广。

注 把定理中f在[a,b]上连续，减弱为f在[a,b]上可积.定理结论为：

m?inff(x), M?supf(x),则存在?(m???M), 使若f在[a,b]上可积，

x?[a,b]x?[a,b]?baf(x)dx??(b?a).

事实上，由m?f(x)?M，x?[a,b]，有 m?b?a???af?x?dx?M?b?a?, 从而有

bm?b?af?x?dxb?ab?M,

令??

?af?x?dxb?a，则

m???M, 且

?baf(x)dx??(b?a).

性质7中的f(?)与这里的?都可看作函数f?x?在区间[a,b]上所有函数值的平均值。 例3 试求f?x?sinx在[0，?]上的平均值。 解 所求平均值为 f(?)???1?0sinxdx??1?cosx?0?2?.

定理2 （ 推广的积分第一中值定理）

若f与g都在[a,b]上连续，且g(x)在[a,b]上是不变号的，则至少存在一点ξ∈[a,b]，使得

?baf(x)g(x)dx?f(?)?g(x)dx. [3] 公式（9）

ab（当g(x)=1时，即为定理9.7） 证 设g(x)≥0，x∈[a,b]，则有

mg(x)?f(x)g(x)?Mg(x),x??a,b?,

其中M、m分别为f在[a,b]上的最大值、最小值。由定积分的不等式性质，能得到

m?g(x)dx??f(x)g(x)dx?M?g(x)dx.

aaabbb若

?bag(x)dx?0,则由上式可知?f(x)g(x)dx?0,从而对任何ξ∈[a,b]，公式（9）式都

ab成立。

9

若

?ba?g(x)dx?0,则得到 m??∈[a,b]，使得f(?)?baf(x)g(x)dx??b?M.由连续函数的介值性可知，一定至少

ag(x)dxb有一点ξ

af(x)g(x)dxba. 这就证得公式（9）成立。

g(x)dx1.3定理

定理1 微积分基本定理 如果函数

xf?x?在区间

?a,b?上连续,则积分上限函数??x?=?af?t?dt在

?a,b?上可导,并且它的导数是

?'?x?d?f?t?dtax=

dxf?x?=

f?x??a?x?b? 公式（10）

x[4]

定理 2 原函数存在定理 如果函数

一个原函数.

定理3

如果函数则

a=称上面的公式为牛顿-莱布尼茨公式.

a,b???x??af?t?dtf?x??a,b??在区间上连续,则函数=就是在上的

F?x?是连续函数

bf?x?在区间

?a,b?上的一个原函数,

公式（11）

[5]

?f?x?dxF?b??F?a?1.4方法

定积分的换元法

假设函数(1)

f?x?在区间

?a,b?上连续,函数x???t?满足条件

?????a?????b,

;

(2)

??t?在

??,??(或??,??)上具有连续导数,且其值域R???a,b?,则有

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