概率统计常见题型及方法总结(7)

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1（10分）某工厂生产铜线，根据长期积累的数据知，铜线的折断力服从正态分布，方差为

?2?16。今从某天生产的铜线中随机抽取10根，测得折断力如下：

289286285284286285285286298292，

问该天生产的铜线折断力与以往比较，其波动性有无显著变化？(??0.05)

2检验假设H0:??16H1:?2?16，

，则当H0为真时，?~?(n?1)，

2222统计量??22(n?1)S2?220拒绝域为???1??(n?1)或????(n?1)。

22 现在??2(n?1)S22?0?170.4?10.65，??0.05, 1622222??(n?1)??0.025(9)?19.023,??(n?1)??0.975(9)?2.7， 2由于2.7?10.65?19.023,故接受H0，

即该天生产的铜线折断力与以往比较，其波动性无显著变化。

2（8分）在某砖厂生产的一批砖中, 随机地抽取6块, 测量其抗断强度(单位MPa)分别为

3.366 3.106 3.264 3.287 3.122 3.205 设砖的抗断强度X服从正态分布N(?,0.11), 问能否认为这批砖的平均抗断强度是3.250MPa？（显著性水平??0.01）

、解 H0:???0,H1:???0 3分

检验统计量t?2x??0?/n，拒绝域t?u?(n?1) 3分

2算得u?z0.005?2.575 2分 接受H0

3（10分）某化工厂一天中生产的化学制品产量（单位：吨）服从正态分布，今测得5天的产量分别为785，805，790，790，802。问是否可以认为日产量的均值显著小于800？ （取

??0.05）

解 假设H0:??800,H1:??800

检验统计量t?x?800-----------------------5分

s/n拒绝域t??t0.05(4)

t?794.4?800??1.4527??2.1318，接受H0 --

8.6179/5,Xn是来自正态总体N??,?2?的样本，其中参数?和?2均未知，对于参数?4.X1,X2,的置信度为1??的置信区间，试问当?减少时该置信区间的长度如何变化？

答：则μ的置信度为1－ α的置信区间[X?St?2(n?1)] n置信区间的长度L?2Snt?2(n?1)，当样本容量给定时，减小?的值会增大t?2(n?1)的

值，相应地L?2Snt?2(n?1)变长。

5、（10分） 某灯泡生产车间为考察灯泡的寿命，从生产的一批灯泡中随机抽取25只，测得平均寿命x?1980小时，标准方差S?3600小时。假设灯泡的寿命X服从正态分布

2

（1）求总体方差?的置信水平为95%的置信区间；（2）在显著性水平??0.05N??,?2?，

2条件下能否认为这批灯泡的平均寿命为2000小时？

解 （1）??0.05，n?25，?1??/2?n?1??12.401，??/2?n?1??39.364。

22?2的置信水平为95%的置信区间为

??n?1?S2n?1?S2??25?360025?3600??,?? ??2?n?1?,?2?n?1?????12.401?1??/2??/2??39.364??2194.8989,6967.1801?

（2）在检验水平为5%的条件下检验假设 H0:??2000，H1:??2000

选取检验统计量 t?问题的拒绝域为

X?2000X?2000~t?n?1?；该假设检验，当原假设H0时，t?S/nS/nt?X?2000?t?/2?n?1?

S/n由条件得 t?/2?n?1??t0.025?24??2.0639

t?X?20001980?20005?????1.6667

3S/n60/25由于t?1.6667?2.0639?t?/2?n?1?，因此接受原假设H0:??2000，即在检验水平为5%的条件下可以认为这批灯泡的平均寿命为2000小时。

6. 假设某种产品来自甲、乙两个厂家，为考查产品性能的差异，现从甲乙两厂产品中分别抽取了8件和9件产品，测其性能指标X得到两组数据，经对其作相应运算得

x1?0.190,s12?0.006, x2?0.238,2s2?0.008

假设测定结果服从正态分布X~?i,?i2???i?1,2?，

221．在显著性水平??0.10下，能否认为?1??2？

2．求?1??2的置信度为90%的置信区间，并从置信区间和假设检验的关系角度分析甲乙两厂生产产品的性能指标有无显著差异。

22解 (1) 检验假设H0:?1??2,2H1:?12??2

S12S12拒绝域为 F?2?F?/2?n1?1,n2?1?或F?2?F1??/2?n1?1,n2?1?S2S2由条件知

n1?8,n2?9,查表得 F?/22F?S12S2?0.006/0.008?0.75,??1?0.9?0.1

?n1?1,， 0 n2?17?,8?3.5??F0?.05F1??/2?n1?1,n2?1??F0.95?7,8??11?

F0.05?8,7?3.73显然 F,n2?1??F?0.75?F?/2?n1?1,n2?1? 1??/2?n1?12222接受原假设H0:?1??2，故可认为?1??2，即认为两总体方差相等，也就是两厂生产的

产品的指标X的方差无显著性差异．

22(2) 求?1??2的置信区间。 由(1)知?1??2，但其值未知，故?1??2的1??置信

区间为

?11X?X?tn?n?2S????2?/212w?1nn21?22n?1S?n?1S????1122计算 S2?w? ???

n1?n2?2?0.0071

查表 t?/2?n1?n2?2??t0.05?15??1.7531 故?1??2的90%置信区间为

?11X?X?tn?n?2S?w??2?/2?12?1n1n2?=?0.190?0.238?1.7531?0.0071?

??? ????11??????0.120,0.024?

?89?数字特征： 概念清楚：

均值（期望）的概念：