概率统计常见题型及方法总结(3)

E?XY??????y?13????????xyf?x,y?dxdy??dy?0xye?y0dx??02yeydy?3 E?Y?????????y?????yf?x,y?dxdy??0dy?0ye?ydx??0y2e?ydy?2

Cov?X,Y??E?X?E?Y??3?2?1

三（16分）设二维随机变量(X,Y)的概率密度为

?e?(x?y) f(x,y)??,x?0,y?0?0，其它

（1） 求边缘密度函数fX(x)，fY(y)； （2） 求边缘分布函数FX(x)，FY(y)； （3） 判断X与Y是否相互独立； （4） 求P(X?Y?1)。 (1) fX(x)??????f(x,y)dy，

当x≤0时，f(x,y)=0,于是fX(x)=0

当x＞0时，fX(x) =???yxe?dy?e?x，

所以Xf(x)=??e?x,x?0X?0,x?0

Y的边缘概率密度 f(y)????Y??f(x,y)dx

当y≤0时， fY(y)=0

y)=??e?y当y＞0时 f,y?0Y(?0,y?0 4（2） F(y)???1?e?y,0?y?0,

其他??1?e?xF(x)?,0?x 4?0,其他（3）独立 4（3）P(X?Y?1)?x???f(x,y)dxdy?2y?1e 4分

分

分 分

四（１０分）设随机变量(X,Y)的概率密度为

?2e?(x?2y),x?0,y?0 f(x,y)??

其他?0,求随机变量Z?X?2Y的分布函数。

FZ(z)?P{X?2Y?z}?当z?0时，FZ(z)?0 当z?0时，FZ(z)?x?2y?z??f(x,y)dxdy

z?x20?z0dx?2e?(x?2y)dy?1?e?z?ze?z

所以Z?X?2Y的分布函数为

z?0?0, FZ(z)?? ?z?z1?e?ze,z?0?3.中心极限定理的问题：用正态分布近似计算

共两类：

一类是二项分布的近似计算问题

X~b(n,p)

近似N(np,np(1?p)) ，即

X?np~N(0,1)np(1?p),

b?npa?np)??()P{a?X?b}??(npqnpq

这个公式给出了n 较大时二项分布的概率计算方法。

另一类是除二项分布之外的其他分布的独立变量连加和的计算问题，

设X1,X2,,Xn,独立同分布，E?X???D?X???2?0k?1,2,,n.kk 近似有连加和服从正态分布：

n?Xi?1i~N(n?,n?)

2一、 (14分) 设粮仓内老鼠的数目是一个服从泊松分布的随机变量，且仓内无鼠的概率为

e?2。

（1）写出随机变量的分布律；

（2）试用中心极限定理计算，在200个同类粮仓内老鼠总数超过350只的概率。 解 （1）X~?(2)； 5分 （2）X表示任意老鼠个数，由中心极限定理

3分 P(X?350)?P???X?200?2?200?2?350?200?2??? 3分

200?2??350?200?2??1?????? 3分

200?2??

二、（１０分）某保险公司多年的统计资料表明，在索赔户中被盗索赔户占20%，以X表示在随意抽查的100个索赔户中因被盗而向保险公司索赔的数。

（1）写出X的概率分布；

（2）求被盗索赔户不少于14户且不多于30户的概率的近似值。 [解] （1）X~b(100,0.2)，

kP{X?k}?C1000.2k0.8100?k，k?0,1,2,?,100

（2）E(X)?100?0.2?20，D(X)?100?0.2?(1?0.2)?16 根据棣莫佛—拉普拉斯中心极限定理

??14?20X?E(X)30?20??P{14?X?30}?P????

44D(X)??????X?E(X)???P??1.5??2.5???(2.5)??(?1.5)

D(X)??????(2.5)??(1.5)?1?0.994?0.933?1?0.927

三（10分）某银行的柜台替每一位顾客的服务时间（单位：分钟）服从参数??

1

的指数2

分布，且各位顾客的服务时间是相互独立的，试用中心极限定理计算，对100位顾客的总服务时间不超过240分钟的概率。

解 设X1,,X100分别表示每一位顾客的服务时间，则它们相互独立相同分布，且

E(Xi)?2,D(Xi)?4 ------------------------------- 5分

?100?X?100?2??i100240?100?2?i?1???(2)?0.9772 P(?Xi?240)?P??100?4100?4??i?1????

点估计的问题：矩估计和似然估计

似然函数的构造：

例题分析：

一、设总体X的概率密度为

?e?(x??),x??,f(x)??

?0,其它.?是未知参数,X1,X2,?,Xn是来自X的样本，

1．求?的矩估计量?1；

??矩估计法:EX?xe???(x??)dx???1，令EX???1?X, => ??1?X?1