概率统计常见题型及方法总结(4)

2．求?的最大似然估计量?2； 3．判断?1，?2是否为无偏估计

解：最大似然估计法：设x1,x2?,xn为样本的观察值，则 似然函数为L(?)?????i?1ne?(xi??)n???e?xii?1nxi??,i?1,n,即minxi??，

1?i?n

?按似然估计的思想，当 似然函数关于 是增函数，故

??minx?2i。

?＝minX。?的最大似然估计量为?2i

二（10分）设X1,X2,?,Xn为样本，总体X的概率密度为

(lnx??)?1?2e,x?0,?f(x,?)??x2?

?0,x?0.?2求参数?的最大似然估计量；问它是否为?的无偏估计量

解设x1,x2,?,xn是X1,X2,?,Xn相应的样本值，则似然函数为

L(?)??(i?1n12?xie(lnxi??)2?2)=(2?)(?xi?1)ei?1n?2n??(lnxi??)22i?1n

nn(lnxi??)2nlnL??ln(2?)??lnxi??22i?1i?1

1ndlnL???lnxi ?0??令

ni?1d?

???y1n?)??Elnxi??E(?e??ni?12?(y??)22dy?? 为无偏估计量

三、设X1,X2,?,Xn是总体X的样本, X的概率密度为

???1?x?,x??,?ef(x;?,?)???

?0,x??.?其中??0.求?和?的最大似然估计量。

设x1,x2,?,xn是X1,X2,?,Xn的样本值, 则似然函数

L??f(xi;?,?)??e?ni?1n?1??(xi??)i?1n,xi??,i?1,2,?,n,

(x??i?1当xi??（i?1,2,?,n）时, lnL??nln??1ni??), 令

n??lnL1n?(x??)??0,i?2?????? ??lnLni?1???0.??????和??. 由于显然, 第二个等式是矛盾等式, 所以由上述似然方程求不出??lnLn??0, ???这表明L是?的严格递增函数, 注意到??xi（i?1,2,?,n）, 因此当

??min{x1,x2,?,xn}时L最大. 于是?和?的最大似然估计值

1n???min{x1,x2,?,xn}, ???(xi???)?x?min{x1,x2,?,xn}, ?ni?1于是?和?的最大似然估计量为