概率统计常见题型及方法总结

常见大题：

1. 全概率公式和贝叶斯公式问题 B看做“结果”，有多个“原因或者条件

Ai”可以导致

B这个“结果”发生，考虑结果B发生的概率，或者求在B发生的条件下，源于某个原因

全概率公式：

P?B???P?Ai?P?B|Ai?i?1nAi的概率问题

nj贝叶斯公式：

P(A?)i|BP(iA)｜P(BA)i?j?1P(｜A)P(jBA)

一（12分）今有四个口袋，它们是甲、乙、丙、丁，每个口袋中都装有a只红球和b只白球。先从甲口袋中任取一只球放入乙口袋，再从乙口袋中任取一只球放入丙口袋，然后再从丙口袋中任取一只球放入丁口袋，最后从丁口袋中任取一球，问取到红球的概率为多少？ 解 Bi表示从第i个口袋放入第i?1个口袋红球，i?1,2,3,4

Ai表示从第i个口袋中任取一个球为红球， 2分

则

P(B1)?a， 2分 a?bP(A1)?P(B1)P(A1B1)?P(B1)P(A1B1) ?aa?1baa?? 2分

a?ba?b?1a?ba?b?1a?b依次类推 2分

a a?b 二（10分）袋中装有m只正品硬币，n只次品硬币（次品硬币的两面均印有国徽），在袋中任取一只，将它投掷r次，已知每次都出现国徽，问这只硬币是次品的概率为多少？ P(Ai)? 、解 记B={取到次品}，B={取到正品}，A={将硬币投掷r次每次都出现国徽} 则P?B??nm1，P?AB??1，P?AB??r―—５分 ,P?B??2m?nm?nn?1P?B?P(AB)2rnm?n P?BA????rnm1P(B)P(AB)?P(B)P(AB)?1??r2n?mm?nm?n2

三、（10分）一批产品共100件，其中有4件次品，其余皆为正品。现在每次从中任取

一件产品进行检验，检验后放回，连续检验3次，如果发现有次品，则认为这批产品不合格。在检验时，一件正品被误判为次品的概率为0.05，而一件次品被误判为正品的概率为0.01。（1）求任取一件产品被检验为正品的概率；（2）求这批产品被检验为合格品的概率。

解 设 A表示“任取一件产品被检验为正品”， B表示“任取一件产品是正品”，则

P?B??964，P?B??，P?A|B??0.95，P?A|B??0.01 100100（1）由全概率公式得

P?A??P?B?P?A|B??P?B?P?A|B??0.9124

（2）这批产品被检验为合格品的概率为

3p??PA?0.9124?0.7596 ?????3四、在电报通讯中不断发出信号‘0’和‘1’，统计资料表明，发出‘0’和‘1’的概

率分别为0.6和0.4，由于存在干扰，发出‘0’时，分别以概率0.7和0.1接收到‘0’和‘1’，以0.2的概率收为模糊信号‘x’；发出‘1’时，分别以概率0.85和0.05收到‘1’和‘0’，以概率0.1收到模糊信号‘x’。

（1）求收到模糊信号‘x’的概率；

（2）当收到模糊信号‘x’时，以译成哪个信号为好？为什么？

解 设Ai=“发出信号i”(i?0,1)， Bi=“收到信号i”(i?0,1,x)。由题意知

P(A0)?0.6， P(A1)?0.4， P(Bx|A0)?0.2， P(Bx|A1)?0.1。

（1）由全概率公式得

P(Bx)?P(Bx|A0)P(A0)?P(Bx|A1)P(A1)（2）由贝叶斯公式得

4分

?0.2?0.6?0.1?0.4?0.16。 2分

P(Bx|A0)P(A0)0.2?0.6??0.75， 3分

P(Bx)0.16

3分

P(A0|Bx)?P(A1|Bx)?1?P(A0|Bx)?1?0.75?0.25

二、随机变量函数的分布及其边缘密度及其独立性的判断 记住如下知识点： 常见分布律和概率密度：

一般正态分布的计算转化为标准正态分布去做：

连续随机变量X:

二维随机变量的分布函数：