概率统计常见题型及方法总结(2)

联合密度：

掌握如下解决随机变量函数分布的解题方法：

对于二维随机变量函数的概率密度，注意：除了求随机变量 Z=X+Y 的密度函数用公式：

????fZ(z)????f(x,z?x)dx????f(z?y,y)dy

注意：

先写出联合密度:

f(x,y)，根据联合密度写出

f(x,z?x)或者f(z?y,y)，

f(x,z?x)在平面x0z或者y0z上画出被积函数不为零的区

域，然后穿线通过区域确定x的上下限。

他的函数Z = g ( X , Y )的概率密度，只能使用分布函数法 其步骤如下：

第一步 求联合密度:

f(x,y)，根据联合密度写出

f(x,z?x)或者f(z?y,y)

第二步 求z的分布函数：

FZ(z)?P{Z?z}?P{2X?Y?z}?g(x,y)?z??f(x,y)dxdy

难点是画出二重积分的积分区域，然后把二重积分化为二次积分定上下限，

画图：先画出被积函数也就是联合密度非零的区域，再确定区域

g(x,y)?z与密度非零区域的重合区域就是二重积分的积分区域，

穿线定积分限：然后左右穿或者上下穿个积分区域定内限，求出分布函数

求密度函数：fZ(z)?FZ?z( )第三步 分析：

一、设总体X服从(0,1)上的均匀分布，X1,X2,序统计量X(n)?max(X1,X2,?,Xn)， 1．求随机变量X(n)的概率密度；

,Xn是来自总体X的一个样本，最大顺

?0,x?0?1,0?x?1?解：X~f(x)??，其分布函数为F(x)??x,0?x?1

?0,其它?1,x?1?而X(n)?max(X1,X2,?,Xn)的分布函数为

FX(n)(z)?P{X(n)?z}?P{max(X1,X2,?,Xn)?z)??P{X1?z,X2?z,?,Xn?z)??[F(z)]n

?(n)?z??n?F?z??n?1f?z??nzn?1，(0?z?1) fX(n)?z??FX二、（10分）设二维随机变量?X,Y?的概率密度为

?Ae?y,0?x?yf?x,y???

其它?0,（1）求常数A的值；（2）求X与Y的协方差Cov?X,Y?。

解 （1）由1?（2）E?X??????????f?x,y?dxdy??dy?Ae?ydx?A，得A?1

00?y??????????xf?x,y?dxdy??dy?xe?ydx??00?y?012?yyedy?1 2