概率统计常见题型及方法总结(5)

??X?min{X,X,?,X}. ??min{X1,X2,?,Xn}, ??12n四、（10分）设总体X的概率密度为

x1??f?x??e,???x??

2?其中?>0是未知参数。设X1,X2,,Xn为总体X的样本。

?；?是否为?的无偏估计量。 （1）求参数?的最大似然估计量?（2）判断?解 （1）设x1,x2,nx,xn是X1,X2,n?1n,Xn的观测值, 则似然函数为

xi1???1???i?1e?? L??， ?e2?2???i?1 lnL??nln2?nln??x??i?11ni。

?n1dlnL?2令 ?0，得

??d??i?1n1n???xi xi?0，解得?ni?11n???Xi ?的最大似然估计量为 ?ni?11n????E?Xi???，??是?的无偏估计量。 （2）由于E??ni?1

五（10分）设电池的寿命服从指数分布，其概率密度为

x?1_??f(x)???e??0x?0 x?0 其中??0为未知参数，今随机抽取5只，测得寿命如下： 1150，1190，1310，1380，1420

求电池的平均寿命?的最大似然估计值。 解 似然函数L(?)?1_?ne1xi??i?11n， 3分

lnL(?)??nln??x??i?1ni 3分

dn1lnL(?)???2令dx???xi?1ni?0得 2分

??x?(1150?1190?1310?1380?1420)?1290 2分 ?六、设总体X的概率密度为

??????1?x,0?x?1 f?x???其它??0,15其中?>?1是未知参数.设X1,X2,?,Xn为总体X的样本.求参数?的矩估计量 和最大似然估计量.

解 矩估计

?1?E(X)??x(??1)x?dx?(??1)?x??1dx?0011??1 ??21n且 A1??Xi?X，令

ni?1A1??1，则

??1?X

??2从而?的矩估计量

???最大似然估计

2X?1.

1?X设x1,x2,?,xn是X1,X2,?,Xn的样本观测值, 则似然函数为

?n??L?????1?xi????1???xi?.

i?1?i?1?nn?取对数得lnL?nln???1????lnx，

ii?1nnndlnL?????lnxi?0，解得 ?令?0，得

??1i?1d?n?lnxi?1n?1,

i???所以, ?的最大似然估计量为 ?n?lnXi?1n?1.

i

七、．设总体X的分布律为

P?X?1???2， P?X?2??2??1???， P?X?3???1???

其中?为未知参数。现抽得一个样本：x1?1，x2?2，x3?1，求参数?的矩估计值和极大似然估计值。

解 E?X????4??1????3?1????3?2?，x?

2224

3

由E?X??x，即3?2??

4??5 ，得参数?的矩估计值为?63

统计量的分布判断问题： 主要利用性质：

独立正态分布的线性组合还是正态分布 三大分布的定义：