CFD 基 础（流体力学）(9)

在SIMPLER算法中，初始的压力场与速度场是协调的，且由SIMPLER算法算出的压力场不必作欠松弛处理，迭代计算时比较容易得到收敛解。但在SIMPLER的每一层迭代中，要比SIMPLE算法多解一个关于压力的方程组，一个迭代步内的计算量较大。总体而言，SIMPLER的计算效率要高于SIMPLE算法。

2. SIMPLEC算法

SIMPLEC是英文SIMPLE consistent的缩写，意为协调一致的SIMPLE算法。它也是SIMPLE的改进算法之一，是由Van Doormal和Raithby提出的。

?项，我们知道，在SIMPLE算法中，为求解的方便，略去了速度修正方程中的?anbunb从而把速度的修正完全归结为由于压差项的直接作用。这一作法虽然并不影响收敛解的值，

但加重了修正值p?的负担，使得整个速度场迭代收敛速度降低。实际上，当我们在略去

?anb?时，犯了一个“不协调一致”的错误。为了能略去anbunb?而同时又能使方程基本协unb??ui?,j)?Ai,j(pi??1,j?pi?,j) (1-163) (ai,j??anb)ui?,j??anb(unb调，试在ui?,j方程(1-138)的等号两端同时减去?anbui?,j，有

??ui?,j)所产?具有相同的数量级，可以预期，ui?,j与其邻点的修正值unb因而略去?anb(unb?所产生的影响要小得多。于是有 生的影响远比在方程(1-138)中不计?anbunbui?,j?di,j(pi??1,j?pi?,j) (1-164)

式中：

di,j?Ai,j(ai,j??anb) (1-165)

类似地，有

vi?,j?di,j(pi?,j?1?pi?,j) (1-166)

式中：

di,j?Ai,j(ai,j??anb) (1-167)

将式(1-166)和式(1-167)代入SIMPLE算法中的式(1-143)和式(1-144)，得到修正后的速度计算式：

ui,j?ui*,j?di,j(pi??1,j?pi?,j) (1-168)

vi,j?vi*,j?di,j(pi?,j?1?pi?,j) (1-169)

式(1-168)和式(1-169)在形式上与式(1-143)和式(1-144)一致，只是其中的系数项d的计算公式不同，现在需要按式(1-165)和式(1-167)计算。

这就是SIMPLEC算法。SIMPLEC算法与SIMPLE算法的计算步骤相同，只是速度修正方程中的系数项d的计算公式有所区别。

?项忽略，因此，得到的压力修由于SIMPLEC算法没有像SIMPLE算法那样将?anbunb正值p?一般是比较合适的，因此，在SIMPLEC算法中可不再对p?进行欠松弛处理。但据

作者的试验，适当选取一个稍小于1的?p对p?进行欠松弛处理，对加快迭代过程中解的收敛也是有效的。

3. PISO算法

PISO是pressure implicit with splitting of operators的缩写，意为压力的隐式算子分割算法。PISO算法是Issa于1986年提出的，起初是针对非稳态可压流动的无迭代计算所建立的一种压力速度计算程序，后来在稳态问题的迭代计算中也较广泛地使用了该算法。

PISO算法与SIMPLE、SIMPLEC算法的不同之处在于：SIMPLE和SIMPLEC算法是两步算法，即一步预测(图1-11中的步骤1)和一步修正(图1-11中的步骤2和步骤3)；而PISO算法增加了一个修正步，包含一个预测步和两个修正步，在完成了第一步修正得到(u,v,p)后寻求二次改进值，目的是使它们更好地同时满足动量方程和连续方程。PISO算法由于使用了预测—修正—再修正三步，从而可加快单个迭代步中的收敛速度。现将三个步骤介绍如下。

1) 预测步

使用与SIMPLE算法相同的方法，利用猜测的压力场p*，求解动量离散方程(1-131)与方程式(1-132)，得到速度分量u*与v*。

2) 第一步修正

所得到的速度场(u*,v*)一般不满足连续方程，除非压力场p*是准确的。现引入对SIMPLE的第一个修正步，该修正步给出一个速度场(u**,v**)，使其满足连续方程。此处的修正公式与SIMPLE算法中的式(1-140)和(1-141)完全一致，只不过考虑到在PISO算法还有第二个修正步，因此，使用不同的记法：

p**?p*?p? (1-170) u**?u*?u? (1-171) v**?v*?v? (1-172)

这组公式用于定义修正后的速度u**与v**：

*??ui**,j?ui,j?di,j(pi?1,j?pi,j) (1-173)

*??vi**,j?vi,j?di,j(pi,j?1?pi,j) (1-174)

就像在SIMPLE算法中一样，将式(1-173)与式(1-174)代入连续方程(1-149)，产生与

式(1-151)具有相同系数和源项的压力修正方程。求解该方程，产生第一个压力修正值p?。一旦压力修正值已知，可通过式(1-173)与式(1-174)获得速度分量u**与v**。

3) 第二步修正

为了强化SIMPLE算法的计算，PISO要进行第二步的修正。u**和v**的动量离散方 程是

*****ai,jui**,j??anbunb?(pi?1,j?pi,j)Ai,j?bi,j (1-175)

*****ai,jvi**,j??anbvnb?(pi,j?1?pi,j)Ai,j?bi,j (1-176)

注意这两式实际就是式(1-131)和式(1-132)。为引用方便，给出新的编号。

再次求解动量方程，可以得到两次修正的速度场(u***,v***)：

********ai,jui***,j??anbunb?(pi?1,j?pi,j)Ai,j?bi,j (1-177) ********ai,jvi***,j??anbvnb?(pi,j?1?pi,j)Ai,j?bi,j (1-178)

注意修正步中的求和项是用速度分量u**和v**来计算的。

现在，从式(1-177)中减去式(1-175)，从式(1-178)中减去式(1-176)，有

***anb(unb?unb)?*****??ui,j?ui,j??di,j(pi???1,j?pi,j) (1-179)

ai,jv***i,j?v**i,j?a?nb***(vnb?vnb)ai,j???di,j(pi??,j?1?pi,j) (1-180)

以上两式中，记号p??是压力的二次修正值。有了该记号，p***可表示为

p***?p**?p?? (1-181)

将u***和v***的表达式(1-179)和(1-180)代入连续方程(1-149)，得到二次压力修正方程：

??????????ai,jpi??,j?ai?1,jpi?1,j?ai?1,jpi?1,j?ai,j?1pi,j?1?ai,j?1pi,j?1?bi,j (1-182) 以上两式中，ai,j?ai?1,j?ai?1,j?ai,j?1?ai,j?1。读者可参考建立方程(1-152)同样的过程，写出各系数如下：

ai?1,j?(?dA)i?1,j (1-183a)

ai?1,j?(?dA)i,j (1-183b) ai,j?1?(?dA)i,j?1 (1-183c) ai,j?1?(?dA)i,j (1-183d)

??A?bI?,J????a?i,J??A? ???a?I,??A?***a(u?u)??nbnbnb?a???i?1,J?a?anb***(unb?unb)? (1-183e)

?aj??A?***(v?v)?nbnbnb???a?v(nb*?*vnb *) nbI,?j1下面对源项b?为何是式(1-183e)的形式作一简要分析和解释。

对比建立方程(1-152)的过程，可以发现，式(1-183e)中的各项，是因在u***和v***的表达

******anb(unb?unb)anb(vnb?vnb)??式(1-179)和式(1-180)中存在和项所导致的，而在u和v的表ai,jai,j达式(1-142)和式(1-143)中没有这样的项，因此，式(1-152)不存在类似式(1-183e)中的各项。

但式(1-152)存在另外一个源项，即[(?u*A)i,j?(?u*A)i?1,j?(?v*A)i,j?(?v*A)i,j?1]，这是因速度u和v的表达式(1-143)和式(1-144)中的u*与v*项所导致的。按此推断，在式(1-183e)中也应该存在类似表达式[(?u**A)i,j?(?u**A)i?1,j?(?v**A)i,j?(?v**A)i,j?1]。但是，由于u**和v**满

********足连续方程，因此??(?uA)i,j?(?uA)i?1,j?(?vA)i,j?(?vA)i,j?1??为0。

现 …… 此处隐藏：3045字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……