CFD 基 础（流体力学）(7)

(2) 联立求解连续方程、动量方程、能量方程。 (3) 求解湍流方程及其他标量方程。

(4) 判断当前时间步上的计算是否收敛。若不收敛，返回第二步，迭代计算；若收敛，重复上述步骤，计算下一时间步的物理量。

1.4.1 SIMPLE算法详解

1. 交错网格

使用交错网格，主要是为了解决在普通网格上离散控制方程时不能检测有问题的压力场的问题，同时，交错网格也是SIMPLE算法实现的基础。

所谓交错网格(staggered grid)，就是将标量(如压力p、温度T和密度等)在正常的网格节点上存储和计算，而将速度的各分量分别在错位后的网格上存储和计算，错位后网格的中心位于原控制体积的界面上。这样对于二维问题，就有三套不同的网格系统，分别用于存储p、u和v；而对于三维问题，就有四套网格系统，分别用于存储p、u、v、w。

二维流动计算的交错网格系统如图1-6所示，主控制体积为求解压力p的控制体积，称为标量控制体积(scale control volume)或p控制体积，控制体积的节点P称为主节点或标量节点(scale node)(如图1-6(a)所示)。速度u在主控制体积的东、西界面e和w上定义和存储，速度v在主控制体积的南、北界面s和n上定义和存储。u和v各自的控制体积则是分别以速度所在位置(界面e和界面n)为中心的，分别称为u控制体积(u-control volume)和v控制体积(v-control volume)，如图1-6(b)和(c)所示。可以看到，u控制体积和v控制体积是与主控制体积不一致的，u控制体积与主控制体积在x方向上有半个网格步长的错位，而v控制体积与主控制体积则在y方向上有半个步长的错位。

图1-6 控制体积

图1-7中所示的均匀网格是向后错位的，因为u的速度uI,J的i位置到标量节点(I,J)的是-1/2 ?xu；同样，v速度vI,J的j位置到标量节点(I,J )的距离是-1/2?yv。当然，也可以选用向后两个错位的速度网格。

在使用了上述交错网格后，生成离散方程的方法和过程与原来的基于普通网格的方法和过程是一样的，只是需要注意所使用的控制体积有所变化。在交错网格中，由于所有标量(如压力、温度、密度等)仍然在主控制体积上存储，因此，以这些标量为因变量的输运

方程的离散过程及离散结果与前面的一样，主要是在交错网格中生成的u和v两个动量方程的离散方程时，积分用的控制体积不再是原来的主控制体积，而是u和v各自的控制体积，同时压力梯度项从源项中分离出来。例如，对u控制体积，该项积分为yj?1xi??p???dxdy?(pI?1,J?pI,J)Ai,J。从而，对于方程(1-98)的离散方程，对u方向的动?yj?xi?1???x?量方程使用u控制体积，可以写出在位置(i,J)处的关于速度ui，J的动量方程的离散形式：

图1-7 交错网格

ai,Jui,J??anbunb?(pI?1,J?pI,J)Ai,J?bi,J (1-123)

式中：Ai,J是u控制体积的东界面或西界面的面积，在二维问题中实际上是?y，即

Ai,J=?y?yj?1?yj (1-124)

式(1-123)中的b为u动量方程的源项部分(不包括压力在内)。对于稳态问题，有

bi,J＝SuC?Vu (1-125) 式(1-125)中的SuC是对源项Su线性化分解的结果，若Su不随速度u而变化，则有SuC≥Su，SuP=0。式(1-125)中的?Vu是u控制体积的体积。式(1-123)中的压力梯度项已经按线性插值的方式进行了离散，线性插值时使用了u控制体积边界上的两个节点的压力差。

在求和记号?anbunb中所包含的E、W、N和S四个邻点是(i-1,J)，(i+1,J)，(i,J+1)和(i,J+1)，它们的位置及主速度在图1-8中标出。图中阴影部分是u控制体积。图1-8中的u控制体积与图1-7中是一致的，这可从节点的编号看出。但是，图1-8中u控制体积的中心也用P来标记，其界面点也用e、w、n和s来标记，这里的标记与图1-7中的同名标记及系数a是由式(1-98)给定的。即

ai,J＝?anb??F?SuP?Vu (1-126)

图1-8 u控制体积及其邻点的速度分量

系数anb取决于所采用的离散格式，在计算式中含有u控制体积界面上的对流质量流量F与扩散传导性D，在采用新编号系统下的计算公式为

F?Fi?1,J1??I,J??I?1,J???I?2,J?Fw?(?u)w?i,J??ui,J?I?1,Jui?1,J? (1-127a)

22?22???I,J???I?1,J?1????I?1,Jui?1,J?I,Jui,J? (1-127b) 22?22?FI,j?FI?1,j1??I,J??I,J?1???I?1,J?1?Fs?(?u)s???vI,j?I?1,JvI?1,j? (1-127c)

22?22?FI,j?1?FI?1,j?11??I,J?1??I,J???I?1,J?Fn?(?u)n???vI,j?1?I?1,J?1vI?1,j?1? (1-127d)

22?22?Fe?(?u)e?Fi?1,J?Fi,JDw?De??I?1,Jxi?xi?1 (1-127e) (1-127f)

(1-127g) (1-127h)

?I,Jxi?1?xiDs?Dn??I?1,J??I,J??I?1,J?1??I,J?14(yJ?yJ?1)?I?1,J?1??I,J?1??I?1,J??I,J4(yJ?1?yJ)采用交错网格对动量方程离散时，涉及不同类别的控制体积，不同的物理量分别在各

自相应的控制体积的节点上定义和存储。例如，密度是在标量控制体积的节点上存储的，如图1-8中的标量节点(I,J)；而速度分量却是在错位后的速度控制体积的节点上存储的，如图1-8中的速度节点(i,J)。这样就会出现这种情况：在速度节点处不存在密度值，而在标量节点处找不到速度值，当在某个确定位置处的某个复合物理量(如式(1-127)中的流通量F)同时需要该处的密度及速度时，要么找不到该处的密度，要么找不到该处的速度。为此，需要在计算过程中通过插值来解决。式(1-127)表明，标量(密度)及速度分量在u控制体积的界面上是不存在的，这时，根据周边的最近邻点的信息，使用二点或四点平均的办法来

处理。

在每次迭代过程中，用于估计上述各表达式的速度分量u和速度分量v是上一次迭代后的数值(在首次迭代时是初始猜测值)。需要特殊说明的是，这些“已知的”速度值u和v也用于计算方程(1-123)中的系数a，但是，它们与方程(1-123)中的待求uj,J和unb是完全不同的。

还需要说明的是，式(1-127)中的线性插值是基于均匀网格而言的，若网格是不均匀的，应该将式(1-127)中的系数2和4等改为相应的网格长度或宽度值的组合。例如，对于不均匀网格上的Fw，按式(1-128)计算：

Fw?(?u)w?xi?xI?1x?xFi,J?I?1i?1Fi?1,Jxi?xi?1xi?xi?1 ??xi?xI?1?xI?xix?x?I,J?iI?1?I?1,J?ui,J??xi?xi?1?xI?xI?1xI?xI?1??xI?1?xi?1?xI?1?xix?x?I?1,J?i?1I?2?I?2,J?ui?1,J?xi?xi?1?xI?1?xI?2xI?1?xI?2? (1-128)

按上述同样的方式，可以写出在新的编号系统中，对于在位置(I,j)处的关于速度vI,j的离散动量方程：

aI,jvI,j??anbvnb?(pI,J?1?pI,J)AI,j?bI,j (1-129)

建立式(1-129)所使用的v控制体积表示在图1-9中。

在求和记号?anbunb中所包含的4个邻点及其主速度也在图1-9中标出。在系数aI,j和 anb中，同样包含在v控制体积界面上的对流质量流量F与扩散传导性D，计算公式如下：

Fw?(?u)w?Fe?(?u)e?Fs?(?v)s?Fi,J?Fi,J?1Fi?1,J???I,J?1?1????I?1,J??I,Jui,J?I?1,J?1ui,J?1? (1-130a) 22?22??Fi?1,J?11??I?1,J??I,J???I?1,J?1???ui?1,J?I,J?1ui?1,J?1? (1-130b)

22?22???I,J?2???I,J?1?1????I,J?1vI,j?1?I,JvI?1,j? (1-130c) 22?22?FI,j?FI,j?11? …… 此处隐藏：3306字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……