CFD 基 础（流体力学）(8)

*aI,JvI*,J??anbvnb?(pI*,J?1?pI*,J)AI,J?bI,J (1-132)

现在，定义压力修正值p?为正确的压力场p与猜测的压力场p*之差，有

p?p*?p? (1-133)

同样地，定义速度修正值u?和v?，以联系正确的速度场(u,v)与猜测的速度场 (u*,v*)，有

u?u*?u? (1-134)

v?v*?v? (1-135)

将正确的压力场p代入动量离散方程(1-123)与(1-129)，得到正确的速度场(u,v)。现在，

从方程(1-123)和(1-129)中减去方程(1-131)和(1-132)，并假定源项b不变，有

*ai,j(ui,j?ui*,j)??anb(unb?unb)?[(pi?1,j?pi*?1,j)?(pi,j?pi*,l)]Ai,j

*ai,j(vi,j?vi*,j)??anb(vnb?vnb)?[(pi,j?1?pi*,j?1)?(pi,j?pi*,l)]Ai,j

(1-136) (1-137)

引入压力修正值与速度修正值的表达式(1-133)～式(1-135)，方程(1-136)和(1-137)可 写成

??(pi??1,j?pi?,j)Ai,j (1-138) ai,jui?,j??anbunb??(pi?,j?1?pi?,j)Ai,j (1-139) ai,jvi?,j??anbvnb可以看出，由压力修正值p?可求出速度修正值(u?,v?)。式(1-139)还表明，任一点上速度的修正值由两部分组成：一部分是与该速度在同一方向上的相邻两节点间压力修正值之

差，这是产生速度修正值的直接的动力；另一部分是由邻点速度的修正值所引起的，这又可以视为四周压力的修正值对所讨论位置上速度改进的间接影响。

为了简化式(1-138)和(1-139)的求解过程，在此，引入如下近似处理：略去方程中与速

?和?anbvnb?。该近似是SIMPLE算法的重要特征。略去后的影响将度修正值相关的?anbunb在下一节要介绍的SIMPLEC算法中讨论。于是有

ui?,J?di,J(pi??1,J?pi?,J) (1-140)

vI?,j?dI,j(pI?,j?1?pI?,j) (1-141)

以上两种中，

di,J?Ai,Jai,J,dI,j?AI,jaI,j (1-142)

将式(1-140)和式(1-141)所描述的速度修正值，代入式(1-134)和式(1-135)，有

uI,J?uI*,J?dI,J(pI??1,J?pI?,J) (1-143)

vI,J?vI*,j?dI,J(pI?,J?1?pI?,J) (1-144)

对于ui?1,J和vI,j?1，存在类似的表达式：

ui?1,J?ui*?1,J?di?1,J(pi?,J?pi??1,J) (1-145) vI,j?1?vI*,j?1?dI,j?1(pI?,j?pI?,j?1) (1-146)

以上两式中：

di?1,J?Ai?1,Jai?1,J，dI,j?1?AI,j?1aI,j?1 (1-147)

式(1-143)～式(1-147)表明，如果已知压力修正值p?，便可对猜测的速度场(u*,v*)作出相应的速度修正，得到正确的速度场(u,v)。

2) 压力修正方程

在上面的推导中，只考虑了动量方程，其实，如前所述，速度场还受连续方程(1-38)的约束。按本节开头的约定，这里暂不讨论瞬态问题。对于稳态问题，连续方程可写为

?(?u)?(?v)??0 (1-148) ?x?y针对如图1-10所示的标量控制体积，连续方程(1-148)满足如下离散形式：

图1-10 离散连续方程的标量控制体积

[(?uA)i?1,j?(?uA)i,j]?[(?vA)i,j?1?(?vA)i,j]?0 (1-149)

将正确的速度值，即式(1-143)～式(1-147)，代入连续方程的离散方程(1-149)，有

{?i?1,JAi?1,J[ui*?1,J?di?1,J(pI?,J?pI??1,J)]??i,JAi,J[ui*,J?di,J(pI??1,J?pI?,J)]}? (1-150) **{?I,j?1AI,j?1[vI,j?1?dI,j?1(pI?,J?pI?,J?1)]??I,jAI,j[vI,j?dI,j(pI?,J?1?pI?,J)]}?0整理后，得

[(?dA)i?1,J?(?dA)i,J?(?dA)I,j?1?(?dA)I,j]pI?,J?(?dA)i?1,JpI??1,J?(?dA)i,JpI??1,J?(?dA)I,j?1pI?,J?1?(?dA)I,jpI?,J?1? [(?u?A)i,J?(?u?A)i?1,J?(?u?A)I,j?(?u?A)I,j?1](1-151)

该式可简记为

aI,JpI?,J?aI?1,JpI??1,J?aI?1,JpI??1,J?aI,J?1pI?,J?1?aI,J?1pI?,J?1?bI?,J (1-152)

式中：

aI?1,J?(?dA)i?1,J (1-153a) aI?1,J?(?dA)i,J (1-153b) aI,J?1?(?dA)I,j?1 (1-153c)

aI,J?1?(?dA)I,j (1-153d) aI,j?aI?1,J?aI?1,J?aI,J?1?aI,J?1 (1-153e) bI?,J?(?u*A)i,J?(?u*A)i?1,J?(?v*A)I,j?(?v*A)I,j?1 (1-153f)

式(1-152)表示连续方程的离散方程，即压力修正值p'的离散方程。方程中的源项b?是由于不正确的速度场(u*,v*)所导致的“连续性”不平衡量。通过求解方程(1-152)，可得到

空间所有位置的压力修正值p?。

如同处理式(1-127)中的密度一样，式(1-153)中的?是标量控制体积界面上的密度值，同样需要通过插值得到，这是因为密度?是在标量控制体积中的节点(即控制体积的中心)定义和存储的，在标量控制体积界面上不存在可直接引用的值。无论采用何种插值方法，对于交界面所属的两个控制体积，必须采用同样的?值。

为了求解方程(1-152)，还必须对压力修正值的边界条件作出说明。实际上，压力修正方程是动量方程和连续方程的派生物，不是基本方程，故其边界条件也与动量方程的边界条件相联系。在一般的流场计算中，动量方程的边界条件通常有两类：第一，已知边界上的压力(速度未知)；第二，已知沿边界法向的速度分量。若已知边界压力p，可在该段边界上令p*?p，则该段边界上的压力修正值p?应为零。这类边界条件类似于热传导问题中已知温度的边界条件。若已知边界上的法向速度，在设计网格时，最好令控制体积的界面与边界相一致，这样，控制体积界面上的速度为已知。

3) SIMPLE算法的计算步骤

至此，已经得出了求解速度分量和压力所需要的所有方程。根据前面介绍的SIMPLE算法的基本思想，可给出SIMPLE算法的计算流程，如图1-11所示。

图1-11 SIMPLE算法流程图

1.4.2 其他算法介绍

SIMPLE算法自问世以来，在被广泛应用的同时，也以不同方式不断地得到改善和发展，其中最著名的改进算法包括SIMPLEC、SIMPLER和PISO。本节介绍这些改进算法，并对各算法作一对比。

1. SIMPLER算法

SIMPLER是英文SIMPLE revised的缩写，顾名思义是SIMPLE算法的改进版本。它是由SIMPLER算法的创始者之一Patanker完成的。

我们知道，在SIMPLER算法中，为了确定动量离散方程的系数，一开始就假定了一个速度分布，同时又独立地假定了一个压力分布，两者之间一般是不协调的，从而影响了迭代计算的收敛速度。实际上，不必在初始时刻单独假定一个压力场，因为与假定的速度场相协调的压力场是可以通过动量方程求出的。另外，在SIMPLER算法中对压力修正值p?采用了欠松弛处理，而松弛因子是比较难确定的，因此，速度场的改进与压力场的改进不能同步进行，最终影响收敛速度。于是，Patanker便提出了这样的想法：p?只用修正速度，压力场的改进则另谋更合适的方法。将上述两方面的思想结合起来，就构成了SIMPLER算法。

在SIMPLER算法中，经过离散后的连续方程(1-149)用于建立一个压力的离散方程，而不像在SIMPLE算法中用来建立压力修正方程。从而，可直接得到压力，而不需要修正。但是，速度仍需要通过SIMPLE算法中的修正方程即式(1-143)～ …… 此处隐藏：2907字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……