CFD 基 础（流体力学）(3)

4. 能量守恒方程

将热力学第一定律应用于流体运动，把式(1-51)各项用有关的流体物理量表示出来，即是能量方程。如式(1-52)所示。

??????T(?E)?[ui(?E?p)]?k?hJ?u(?)??effj?j?jijeff??Sh (1-52) ?t?xi?xi??xi?j?ui2式中：E?h??；keff是有效热传导系数，keff?k?kt，其中kt是湍流热传导系数，

?2根据所使用的湍流模型来定义；Jj?是组分j的扩散流量；Sh包括了化学反应热以及其他用

p户定义的体积热源项；方程右边的前3项分别描述了热传导、组分扩散和粘性耗散带来的能量输运。

1.2.2 湍流模型

湍流是自然界广泛存在的流动现象。大气、海洋环境的流动，飞行器和船舰的绕流，叶轮机械、化学反应器、核反应器中的流体运动都是湍流。湍流流动的核心特征是其在物理上近乎于无穷多的尺度和数学上强烈的非线性，这使得人们无论是通过理论分析、实验研究还是计算机模拟来彻底认识湍流都非常困难。回顾计算流体力学的发展，特别是活跃的20世纪80年代，不仅提出和发展了一大批高精度、高分辨率的计算格式，从主控方程看相当成功地解决了欧拉方程的数值模拟，可以说欧拉方程数值模拟方法的精度已接近于它有效使用范围的极限；同时还发展了一大批有效的网格生成技术及相应的软件，具体实现了工程计算所需要的复杂外形的计算网格；且随着计算机的发展，无论从计算时间还是从计算费用考虑，欧拉方程都已能适用于各种实践所需。在此基础上，20世纪80年代还进行了求解可压缩雷诺平均方程及其三维定态粘流流动的模拟。20世纪90年代又开始一个非定常粘流流场模拟的新局面，这里所说的粘流流场具有高雷诺数、非定常、不稳定、剧烈分离流动的特点，显然需要继续探求更高精度的计算方法和更实用可靠的网格生成技术。但更为重要的关键性的决策将是，研究湍流机理，建立相应的模式，并进行适当的模拟仍是解决湍流问题的重要途径。

1. 湍流模型分类

湍流流动模型很多，但大致可以归纳为以下3类。

第一类是湍流输运系数模型，即将速度脉动的二阶关联量表示成平均速度梯度与湍流粘性系数的乘积，用笛卡儿张量表示为

??u?uj?2??ui?uj???t?i???k?ij (1-53) ???x?3?xi??j模型的任务就是给出计算湍流粘性系数?t的方法。根据建立模型所需要的微分方程的数目，可以分为零方程模型(代数方程模型)、单方程模型和双方程模型。

第二类是抛弃了湍流输运系数的概念，直接建立湍流应力和其他二阶关联量的输运 方程。

第三类是大涡模拟。前两类是以湍流的统计结构为基础，对所有涡旋进行统计平均。

大涡模拟把湍流分成大尺度湍流和小尺度湍流，通过求解三维经过修正的Navier-Stokes方程(纳维-斯托克斯方程，简称N-S方程)，得到大涡旋的运动特性，而对小涡旋运动还采用上述的模型。

实际求解中，选用什么模型要根据具体问题的特点来决定。选择的一般原则是精度要高，应用简单，节省计算时间，同时也具有通用性。

Fluent 提供的湍流模型包括：单方程(Spalart-Allmaras)模型、双方程模型(标准k-?模型、重整化群k-?模型、可实现k-?模型)及雷诺应力模型和大涡模拟，如图1-1所示。

图1-1 湍流模型详解

2. 平均量输运方程

雷诺平均就是把Navier-Stokes方程中的瞬时变量分解成平均量和脉动量两部分。对于速度，有

ui?ui?ui? (1-54) 式中：ui和ui?分别是平均速度和脉动速度(i?1,2,3)。

类似地，对于压力等其他标量，也有

?????? (1-55)

式中：?表示标量，如压力、能量、组分浓度等。

把上面的表达式代入瞬时的连续与动量方程，并取平均(去掉平均速度上的横线)，可以把连续与动量方程写成如下的笛卡儿坐标系下的张量形式：

????(?ui)?0 (1-56) ?t?xi???ui?uj2?ul???????ij???ui?uj????????? (1-57) ???x?x3?x?x???il??j??j?上面两个方程称为雷诺平均的Navier-Stokes(RANS)方程。它们和瞬时Navier-Stokes方

?dui?p???dt?xi?xj

程有相同的形式，只是速度或其他求解变量变成了时间平均量。额外多出来的项??ui?uj?是雷诺应力，表示湍流的影响。

对于密度变化的流动过程，如燃烧问题，需要采用法夫雷(Favre)平均才可以求解。法夫雷平均就是除了压力和密度本身以外，所有变量都用密度加权平均。变量的密度加权平均定义如下：

????/? (1-58) 式中：符号~表示密度加权平均，对应于密度加权平均值的脉动值用???表示，有???????。显然，这种脉动值的简单平均值不为零，但它的密度加权平均值等于零，即????0，?????0。 为了求解方程(1-57)，必须模拟雷诺应力项以使方程封闭。通常的方法是应用Boussinesq假设，认为雷诺应力与平均速度梯度成正比，表达式如下：

??ui?uj?2??u?????uiuj??t?????k??ti??ij (1-59) ???x??xi??j?xi?3?Boussinesq假设被用于单方程模型和k-?双方程模型。这种近似方法好处是与求解湍

流粘性系数有关的计算时间比较少。例如，在Spalart-Allmaras单方程模型中只多求解一个表示湍流粘性的输运方程；在k-?双方程模型中只需多求解湍动能k和耗散率?两个方程，湍流粘性系数用湍动能k和耗散率?的函数来描述。Boussinesq假设的不足之处是假设?t是个各向同性标量，对于一些复杂流动，该条件并不是严格成立，所以具有其应用局限性。

另外的近似方法是求解雷诺应力各分量的输运方程。这也需要额外再求解一个标量方程，通常是耗散率?方程。这就意味着对于二维湍流流动问题，需要多求解4个输运方程，而三维湍流问题需要多求解7个方程，需要较多的计算时间，要求更高的计算机内存。

在很多情况下基于Boussinesq假设的模型很好用，而且计算量并不是很大。但是，如果湍流场各向异性很明显，如强旋流动以及应力取得的二次流等流动中，求解RSM模型可以得到更好的结果。

3. 常用湍流模型简介

1) 单方程(Spalart-Allmaras)模型

单方程模型求解变量是v，表征出了近壁(粘性影响)区域以外的湍流运动粘性系数。v的输运方程为

??v??dv1????v?????Gv??(???v)?C??Yv (1-60) ???b2???dt?v??x?x?x?j???j???j??式中：Gv是湍流粘性产生项；Yv是由于壁面阻挡与粘性阻尼引起的湍流粘性的减少；?v和Cb2是常数；v是分子运动粘性系数。

湍流粘性系数?t??vfv1，其中，fv1是粘性阻尼函数，定义为fv1?而湍流粘性产生项Gv模拟为Gv?Cb1?Sv，其中S?S??3?3?Cv13，??v。v?v，Cb1和kfv2，fv2?1?21??fv1kd2

1??u?u?是常数，d是计算点到壁面的距离；S?2?ij?ij，?ij??j?i?。在Fluent软件中，

?2???xi?xj?考虑到平均应变率对湍流产生也起到很大作用，S?|?ij|?Cprodmin(0,|Sij|?|?ij|)，其中，?u?1??uCprod=2.0，|?ij|?2?ij?ij，|Sij|?2SijSij，平均应变率Sij??j?i?。

?2???xi?xj?在涡量超过应变率的计算区域计算出来的涡旋粘性系数变小。这适合涡流靠近涡旋中心的区域，那里只有“单纯”的旋转，湍流受到抑止。包含应变张量的影响更能体现旋转对湍流的影响。忽略了平均应变，估计的涡旋粘性系数产生项偏高。

6?1?Cw??v?3湍流粘性系数减少项Yv为Yv?Cw1?fw??，其中，fw?g??，

?g?C6?d??w3??6vg?r?Cw2(r6?r)，r?22，Cw1、Cw2、Cw3是常数 …… 此处隐藏：4121字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……