CFD 基 础（流体力学）(6)

????eAe?wAw??(?u)eAe(?u)wAw???V???f??f??fS?V???P??P?2??t2(?x)(?x)????eW?????(?u)wAw?wAw?0????[f?W?(1?f)?W]?2(?x)W????eAe(?u)eAe?0???[f?E?(1?f)?E]?2??(?x)e???eAe(?u)eAe???V??(1?f)??????t(?x)2?e????0?(?u)wAw(?u)wAw?(1?f)???(1?f)S?V??P?SC?VP?22??? (1-111)

同样引入稳态中关于符号F和D的定义，并将原来的定义作一定扩展，即乘以面积

A，有

?Fw?(?u)wAw,Fe?(?u)eAe? (1-112) ?wAw?eAe?D?,D?e?w(?x)(?x)ew?将式(1-112)代入方程(1-111)，得

??V???t?f(De?Dw)????FF?f?e?w??fSP?V??P2??2?F??F??00??w?Dw?[f?W?(1?f)?W]??De?e?[f?E?(1?f)?E]? 2??2????VF?F??0???(1?f)?De?e??(1?f)?Dw?w??(1?f)SP?V??P????t22??????(1-113)

SC?V同样也像稳态问题引入aP、aW和aE，式(1-113)变为

00aP?P?aW[f?W?(1?f)?W]?aE[f?E?(1?f)?E]???VF?F??0???(1?f)?De?e??(1?f)?Dw?w??(1?f)SP?V??P? (1-114) ???t22??????SC?V式中：

?aP?aP0?f(aE?aW)?f(Fe?Fw)?fSP?V??a?D?Fww?W2? ?Fea?D??Ee2??V?0a??P??t?(1-115)

根据f的取值，瞬态问题对时间的积分有几种方案，当f=0时，变量的初值出现在方程(1-114)的右端，从而可直接求出在现时刻的未知变量值，这种方案称为显式时间积分方案。当0

进一步将一维问题扩展为二维与三维问题。在二维问题中，计算区域离散如图1-4所示。发现只是增加第二坐标y，控制体积增加的上下界面，分别用n(north)和s(south)表示，相应的两个邻点记为N和S。在全隐式时间积分方案下的二维瞬态对流-扩散问题的离散方程为

aP?P?aW?W?aE?E?aN?N?aS?S?b (1-116)

式中：

0?aP?ap?aE?aW?aS?aN?(Fe?Fw)?(Fn?Fs)?SP?V??aW?Dw?max(0,Fw)??aE?De?max(0,?Fe)??aS?Ds?max(0,Fs) (1-117) ??aN?Dn?max(0,?Fn)??00?Va??P?P?t?00??b?SC?V?aP??P在三维问题中，计算区域离散如图1-4所示(两个方向的投影)。在二维的基础上增加第

三坐标z，控制体积增加的前后界面，分别用t(top)和b(bottom)表示，相应的两个邻点记为T和B。在全隐式时间积分方案下的三维瞬态对流-扩散问题的离散方程为

aP?P?aW?W?aE?E?aN?N?aS?S?aT?T?aB?B?b (1-118)

式中：

?aP?aP0?aE?aW?aS?aN?(Fe?Fw)?(Fn?Fs)??(Ft?Fb)?SP?V??aW?Dw?max(0,Fw)??aE?De?max(0,?Fe)?a?D?max(0,F)Sss?? (1-119) ?aN?Dn?max(0,?Fn)??aT?Dt?max(0,?Ft)?aB?Db?max(0,Fb)??a0??0?VP?P?t?00??b?SC?V?aP??P

控制体积边界控制体积边界节点节点NnWwsSWwTtyddy ee ee bBdx dxdx dx dzzPEPE控制体积控制体积 图1-4

1.3.3 有限体积法中常用的离散格式

1. 常用的离散格式

有限体积法常用的离散格式有：中心差分格式、一阶迎风格式、混合格式、指数格式、乘方格式、二阶迎风格式、QUICK格式。各种离散格式对一维、稳态、无源项的对流-扩

散问题的通用控制方程(1-120)均能得到式(1-121)的形式。对于高阶情况如式(1-122)所示。

d(?u?)d?d?????? (1-120) dxdx?dx?aP?P?aW?W?aE?E (1-121)

aP?P?aW?W?aWW?WW?aE?E?aEE?EE (1-122)

式中，对于一阶情况，aP?aW?aE?(Fe?Fw)，对于二阶情况，aP?aW?aE?aWW?aEE? (Fe?Fw)，其中系数aW和aE取决于所使用的离散格式(高阶还有aWW和aEE)。为了便于比

较和编程计算，将各种离散格式的系数总结于表1-2中。

表1-2 不同离散格式下系数aW和aE的计算公式

离散格式 中心差分格式 一阶迎风格式 混合格式 Dw?Fw 2系数aW De?Fe 2系数aE Dw?max(Fw,0) De?max(0,?Fe) ??F??max?Fw,?Dw?w?,0? 2????Fwexp(Fw/Dw) exp(Fw/Dw)?1?F???max??Fe,?De?e?,0? 2????Fe exp(Fe/De)?1指数格式

续表 离散格式 乘方格式 系数aW 系数aE Dwmax[0,(1?0.1|Pe|)3]?max[Fw,0]31Dw??Fw??Fe 221aWW???Fw 2Demax[0,(1?0.1|Pe|)3]?max[?Fe,0] 二阶迎风格式 31De?(1??)Fe?(1??)Fw 22aEE?1(1??)Fe 2QUICK 格式 613Dw??wFw??wFe?(1??w)Fw 8881aWW???wFw 8361De??eFe?(1??e)Fe?(1??e)Fw 8881aEE?(1??e)Fe 8 2. 建立离散方程应遵循的原则

在利用有限体积法建立离散方程时，必须遵守以下四条基本原则。 1) 控制体积界面上的连续性原则

当一个面为相邻的两个控制体积所共有时，在这两个控制体积的离散方程中，通过该界面的通量(包括热通量、质量通量、动量通量)的表达式必须相同。即通过某特定界面从一个控制体积所流出的热通量，必须等于通过该界面进入相邻控制体积的热通量，否则，总体平衡就得不到满足。

2) 正系数原则

中心节点系数aP和相邻节点系数anb必须恒为正值。该原则是求得合理解的重要保证。当违背这一原则，结果往往是得到物理上不真实的解。例如，如果相邻节点的系数为负值，就可能出现边界温度的增加引起的相邻节点温度降低。

3) 源项的负斜率线性化原则

源项斜率为负可以保证正系数原则。从式(1-100)中看到，当相邻节点的系数皆为正值，但有源项Sp的存在，中心节点系数aP仍有可能为负。当我们规定Sp≤0，便可以保证aP为正值。

4) 系数aP等于相邻节点系数之和原则

当源项为0时，我们发现中心节点系数等于相邻节点系数之和，而当有源项存在时也应该保证这一原则，如果不能满足这个条件，可以取SP为0。

1.4 流场数值计算算法分析

上面建立了控制方程的离散方程，即建立了可以数值计算的代数方程组。常规解法只能应付已知速度场求温度场分布这类简单的问题，所以对所生成的离散方程进行某种调整，

并且对各未知量(速度、压力、温度等)的求解顺序及方式进行特殊处理。为此，流场数值计算是针对常规解法存在的主要问题进行改善形成的一系列方法集。流场计算的基本过程是在空间上用有限体积法(或其他类似方法)将计算区域离散成许多小的体积单元，在每个体积单元上对离散后的控制方程组进行求解。其本质是对离散方程进行求解，一般可以分为分离解法(segregated method)和耦合解法(coupled method)两大类，各自又根据实际情况扩展成具体的计算方法，如图1-5所示。

图1-5 流场数值计算方法的分类

1. 分离解法

分离解法不直接求解联立方程组，而是顺序地、逐个地求解各变量代数方程组。分离解法中应用广泛的是压力修正法，其求解基本过程如下。

(1) 假定初始压力场。

(2) 利用压力场求解动量方程，得到速度场。

(3) 利用速度场求解连续方程，使压力场得到修正。 (4) 根据需要，求解湍流方程及其他标量方程。 (5) 判断当前时间步上的计算是否收敛。若不收敛，返回第二步，迭代计算；若收敛，重复上述步骤，计算下一时间步的物理量。

压力修正法有很多实现方式，其中，压力耦合方程组的半隐式方法(SIMPLE算法)应用最为广泛，也是各种商用CFD软件普遍采纳的算法。

2. 耦合解 …… 此处隐藏：1971字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……