数学建模几种类型(3)

近似式或者泰勒展开式求出，读者自行可以推出如下常用的二阶导数近似公式：

f(xk?h)?2f(xk)?f(xk?h) f\(xk)? （4.23） 2h并进一步利用泰勒公式给出（4.23）式的误差估计。

4.6.2数值积分

在许多实际问题中，常常需要计算定积分I??af(x)dx的值。根据微积分学基本定理，若被积函数f(x)在区间[a,b]上连续，只需要找到被积函数的一个原函数F(x)，就可以用牛顿—莱布尼兹公式求出积分值。但在实际使用时，往往因为被积函数的复杂性或难以求出原函数等原因，使得求精确值很难或不可能，所以需要用数值方法求某一定积分的近似值。

假如f(x)在[a,b]上可积，利用定积分的定义

b?a （4.24）

n??nk?1根据定积分的几何意义，可知当n充分大时，可将In视为积分I的近似值。这里?k是取自

b I??af(x)dx?limIn,nbIn??f(?k)第k个区间[xk?1,xk]中的值。该方法的几何意义就是利用一系列小矩形的面积近似曲边矩形的面积。对于?k的不同选取方到不同的数值积分公式，各种不

分公式的精度是不完全一样的。方法求积分的近似值时，需要根的要求，选择一个适合的积分公

梯形公式和辛普森公式

定积分表示曲线f(x）下的有向面积。我们先从图4.7上观计算定积分的面积。

yy?f(x)式，可以得同的数值积在利用数值据计算精度式。

xaxk?1xkxk?1b曲边梯形的察如何近似

b?a，n 如果将区间[a,b]划分n等分，结点分别记为 a?x0?x1???xn?b，h?fk?f(xk),h称为积分步长。如果取xk??k，公式（4.24）可以表示为

nIn?h?fk （4.25）

k?1式（4.25）称为计算定积分的矩形公式。

如果我们用小梯形代替小矩形作为曲边梯形的近似，即利用近似公式

n?1h Tn?h?fk?(f0?fn) （4.26）

2k?1它的实际含义是利用逐段线性函数作为f(x)的近似，式（4.26）称为梯形求积公式。

fk?1?fk代替fk，则得到2为了提高计算精度，可以用分段二次插值函数Sk代替f(x)。由于每段都要用到相邻两个小区间端点的三个函数值，所以小区间的数目必须是偶数。记n?2m,k?0,1,2,?,m?1，在第k段的两个小区间上用三个节点(x2k,f2k),(x2k?1,f2k?1),(x2k?2,f2k?2)作二次插值函数Sk(x)，然后积分可得

hx2k?2Sk(x)dx?(f2k?4f2k?1?f2k?2) ?x2k3求m段之和就得整个区间上的近似积分

Sn?m?1m?1hb?a (4.27) (f0?f2m?4?f2k?1?2?f2k),h?32mk?0k?1

公式（4.27）称为抛物形公式（辛普森求积公式）。

梯形公式在小区间[xk,xk?1]上是用线性插值函数T(x)代替f(x)，由泰勒公式得到 f(x)?T(x)?f\(?k)2(x?xk)(x??k?1),?k?[xk,xk?1] ?xk?1[f(x)?T(x)]dx?f\(?k)?xxk?1xk(x?xk)(x?xk?1)dxk2??h3

12f\(?k)梯形公式（4.26）的误差为

R(f,Tn)?|I?Tn|?|?baf(x)dx?Tn|

记 M2?max|f\(x)|,x?(a,b),它常可以粗略地估计，因此

R(f,Th2 n)?12M2(b?a) （4.28）

上式表明梯形公式（4.26）的误差是h2阶的，即是2阶收敛的。还可以求出辛普森公式的误差

(f,Sh4Rn)?180M4(b?a) （4.29）

其中M(4)(x)|,x?(a,b),即误差为h44?max|f阶的。

从前面的求积公式中可以看出误差随着n的增大（即步长减小）而减小，因此对于给定的误差?限，我们可以根据误差估计式确定适当的步长。由于（4.28）式或（4.29）式都含有高阶导数，一般都不容易估计。在实际求积过程中，通常用二分法每次将上一次的每个小区间等分为二，因此区间数n增加一倍，随着n的增加，计算精度也随着增加，直至满足精度要求（通常是通过比较前后两次计算值的误差是否满足精度要求来确定是否中断计算）下面以梯形公式为例说明这一过程。

由（4.28）式可知，当n增加一倍时，I?T12n?3(T2n?Tn)，所以只要|T2n?Tn|算出的T2n即可满足|I?T2n|??的精度要求。而每次分点加密一倍时，原分点的函数值需要重新计算，只需要求出新分点（xk,xk?1的中点）的函数值（记作fk?1/2），即可算出 TT2n?nhn?1b?a2?2?fk?1/2,h?2 （4.30） k?0对于辛普森公式也可作类似处理。

例1对于f(x)?411?x2，利用表4.1所给的数据，计算积分I??0f(x)dx。

表4.1f(x)?1/(1?x2)数据表

xk f(xk) xk f(xk)

0 4.00000000 5/8 2.87640449 1/8 3.93846154 3/4 2.56000000 1/4 3.76470588 7/8 2.26548673 3/8 3.50684932 1 2.00000000 1/2 3.20000000

解 这个问题有精确的答案 I?4arctanx|10???3.141592653。 4.27。，计

fk不 （）??将区间[0,1]八等分，即取n?8，应用梯形公式求得

1111315T8(f)??{f(0)?2[f()?f()?f()?f()?f()2884828

37?f()?f()]?f(1)}?3.1389885048 将区间[0,1]四等分，即取n?4，应用辛普森公式求得

1111131S4(f)??{[f(0)?4f()?f()]?[f()?4f()?f()]?6484482 15337[f()?4f()?f()]?[f()?4f()?f(1)]}?3.1415925028448T8,S4的结果，它们都需要提供9个点的函数值，计算量基本相同，然而精度却有较大

从梯形公式和辛普森公式中可以看到，不论哪个近似求积公式都可以写成如下形式：n In??Akf(xk) k?1Ak是与函数f(x)无关的常数，梯形公式与辛普森公式的区别仅在于一般用代数精度的概念来衡量求积公式的精度。代数精度是用幂函数作为被积函数，以近似积分与精确值是否相等作

设f(x)?xk，用（4.13）式计算I??baf(x)dx，若对于k?0,1,2,k?m?1时In?I，则称求积公式In的代数精度为m。容易验证梯形公式的代数精度为3。

梯形公式与辛普森公式的特点是将积分区间等分，将分点作为插值节点，用分段插值f(x)作积分，因而节点数n给定后节点xk是固定的，要构造求积公式只需要确4.31）式中的系数Ak即可。对于梯形公式，当区间分点数加倍时，近似值T2n?Tn3，如果用这个误差值作为T2n的一种补偿，得到公式 T?T1412n?3(T2n?Tn)?3T2n?3Tn 4.26）代入（4.32）得到 T?Sn

上式表明，用梯形公式对于区间二分前后的两个积分值Tn,T2n按（Sn，而误差由h2阶变为h4阶。类似地有 I?S112n?16(I?Sn),I?S2n?15(S2n?Sn)

SS161n,2n的线性组合15S2n?15Sn为更精确的近似公式，可以证明其误差是4.26）重新记作

Tn?1hfb?a1(h)?h?f1k?(0?fn),h? k?2nTh2n改为T1(2)，则上述构造Tn,T2n(Sn,S2n)线性组合的步骤可以归结为如

T4jj?1(h)?4j?1Tj(h2)?14j?1Tj(h),j?1,2,? （4.31）

Ak的取值不同。（复化求,m都有In?IT2n的误差约（4.32）

4.32）式线性组合，h6阶的。4.33）

4.34） 不比较差别，辛普森公式的精度相对较高。

龙贝格公式

其中同公式近似的精确程度是不一样的，积公式用阶来衡量）为精度的度量标准，有如下定 …… 此处隐藏：1705字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……