数学建模几种类型

第四章 微积分模型

今天人们不论从事什么活动都讲究高效益,即希望所采取的策略使某个或某些指标达到最优。商店订货要使订货、存贮等费用最小，体育比赛运动员要创造最好的成绩，工程设计要追求最佳方案。普遍存在的优化问题经常成为人们研究的对象，建立这类问题的模型，我们称为优化模型。

建立优化模型首先要确定所关心的优化指标的数量描述，然后构造包括这个指标及各种限制条件的模型，通过模型求解给出达到优化指标的所谓策略。本章仅考虑定常情况给的策略不随时间改变)。

4.1 不允许缺货模型

某配送中心为所属的几个超市送配某种小电器，假设超市每天对这种小电器的需求量是稳定的，订货费与每个产品每天的存贮费都是常数。如果超市对这种小家电的需求是不可缺货的，试制定最优的存贮策略(即多长时间订一次货，一次订多少货)。 如果日需求量价值100元，一次订货费用为

5000元，每件电器每天的贮存费q(t)1元，优结果。 Q模型假设:

（1）每天的需求量为常数r； （2）每次的订货费用为c1，每天每件产品的存贮费为c2 ；

（3）T天订一次货,每次订QT1Tt件，为0时，立即补充，补充是瞬时完成的；（4）为方便起见，将r，Q都视为连续量。模型建立

将存贮量表示为时间的函数q(t),t?0时，进货Q件这类小电器,储存量q(0)需求r的速率递减，直到q(T)=0。 易见

Q=rT (4.1)

一个周期的存贮费用

C2=

?T0q(s)ds?c2A

一个周期的总费用

rT2 C=c1?c22

每天平均费用

(即所请给出最

Q,q(t)以且当存贮量

?c(T)?c1c2rT? (4.2) T2模型求解

求T，使c(T)取最小值。 由

dc?0，得 dTT?2c1,rc2Q?2c1rc2 (4.3)

上式称为经济订货批量公式。

模型解释

(1)订货费越高，需求量越大，则每次订货批量应越大，反之，每次订货量越小； (2)贮存费越高，则每次订货量越小，反之，每次订货量应越大。 模型应用 将c1?5000,c2?1,r?100代入(4.3)式得 T=10天,Q=1000件，c=1000元。

4.2 允许缺货模型

q(t)某配送中心为所属的几个超市送配某种

小电器，假设超市每天对这种小电器的需求Q量是稳定的，订货费与每个产品每天的存贮费都是常数。如果超市对这种小家电的需求是可以缺货的，试制定最优的存贮策略(即t多长时间订一次货，一次订多少货)。

T1T 如果日需求为100元，一次订货费用为5000元，每件电器每天的贮存费1元，每件小家电每天的缺货费为0.1元，请给出最优结果。

与不允许缺货情况不同的是，对于允许缺货的情况，缺货时因失去销售机会而使利润减少，减少的利润可以看作为因缺货而付出的费用，称为缺货费。于是这个模型的第（1）、（2）条假设与不允许缺货的模型相同，除此之外，增加假设

（3）每隔T天订货Q件，允许缺货，每天每件小家电缺货费为c3 。缺货时存贮量q看作负值，q(t)的图形如图4.2，货物在t?T1时送完。

TT1 一个供货周期T内的总费用包括：订货费c1，存贮费c2?0缺货费c3?T1|q(t)|dt，q(t)dt，

借助图4.2可以得到 一个周期总费用为 C?c1? 每天的平均费用 C(T,Q)?

利用微分法，令

11c2QT1?c3r(T?T1)2 22c1c2Q2c3(rT?Q)2 （4.4） ??T2rT2rT???C??0??T ??C???Q?0可以求出最优的T,Q值为

T'?2c1c2?rc.c3,Q'?2c1rc.c3 （4.5） 2c32c2?c3记

??c2?c3c(?1) 3通过与不允许缺货的模型相比较得到

T'?T?,Q'?Q/? （4.6） 显然T'?T,Q'?Q，即允许缺货时订货周期可以长一些，每次可以少订一些货。（4.6）式表明，缺货费c3越大，?值越小，T',Q'与T,Q越接近，这与实际是相符的，因为c3越大，意味着因缺货造成的损失越大，所以应该尽量避免缺货，当c3???时，??1，于是T'?T,Q'?Q。这个结果是合理的，因为缺货费充分大，造成的缺货损失也充分大，所以不允许缺货。

将所给的数据代入（4.6）式得到 T'?33天,Q'?333件,c?301.7元。

4.3森林救火模型

本节讨论森林救火问题。森林失火了，消防站接到报警后派多少消防队员前去救火呢队员派多了，森林的损失小，但是救火的开支增加了；队员派少了，森林的损失大，救火的开支相应减小。所以需要综合考虑森林损失和救火队员开支之间的关系，以总费用最小来确定派出队员的多少。

从问题中可以看出，总费用包括两方面，烧毁森林的损失，派出救火队员的开支。烧毁森林的损失费通常正比于烧毁森林的面积，而烧毁森林的面积与失火的时间、灭火的时间有关，灭火时间又取决于消防队员数量，队员越多灭火越快。通常救火开支不仅与队员人数有关，而且与队员救火时间的长短也有关。记失火时刻为t?0，开始救火时刻为t?t1被熄灭的时刻为t?t2。设t时刻烧毁森林的面积为B(t)，则造成损失的森林烧毁的面积为B(t2)。下面我们设法确定各项费用。

先确定B(t)的形式，研究B'(t)比B(t)更直接和方便。B'(t)是单位时间烧毁森林的面积，取决于火势的强弱程度，称为火势蔓延程度。在消防队员到达之前，即0?t?t1，火势越来越大，即B'(t)随t的增加而增加；开始救火后，即t1?t?t2，如果消防队员救火能力充分强，火势会逐渐减小，即B'(t)逐渐减小，且当t?t2时，B'(t)?0。

救火开支可分两部分：一部分是灭火设备的消耗、灭火人员的开支等费用，这笔费用与队员人数及灭火所用的时间有关；另一部分是运送队员和设备等的一次性支出，只与队员人数有关。

模型假设

需要对烧毁森林的损失费、救火费及火势蔓延程度的形式做出假设。 (1) 损失费与森林烧毁面

B'(t)积B(t2)成正比，比例系数为

c1，c1即烧毁单位面积森林的损失费，取决于?x??森林的疏密程度

?bt1t2t?，火和珍贵程度。

(2) 对于0?t?t1，火势蔓延程度B'(t)与时间t成正比，比例系数?称为火势蔓延速度。（注：对这个假设我们作一些说明，火势以着火点为中心，以均匀速度向四周呈圆形蔓延，所以蔓延的半径与时间成正比，因为烧毁森林的面积与过火区域的半径平方成正比，从而火势蔓延速度与时间成正比）。

(3) 派出消防队员x名，开始救火以后，火势蔓延速度降为???x，其中?称为每个队员的平均救火速度，显然必须x??/?，否则无法灭火。

（4）每个消防队员单位时间的费用为c2，于是每个队员的救火费用为c2(t2?t1)，每个队员的一次性开支为c3。

模型建立

根据假设条件（2）、（3），火势蔓延程度在0?t?t1时线性增加，在小，具体绘出其图形见图4.3。

记t?t1时，B'(t)?b。烧毁森林面积

B(tt2)??20B'(t)dt

正好是图中三角形的面积，显然有 B(t2)?12bt2 而且

tb2?t1??x??

因此

1b2 B(t2)?2bt1?2(?x??)

根据条件（1）、（4）得到，森林烧毁的损失费为c1B(t2)，救火费为算得到救火总费用为

C(x)?1c1b2cbx …… 此处隐藏：3048字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……