12.5因式分解-十字相乘法

整式乘法中，有

1、口答计算结果(1)(x+3)(x+4)

(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab

=x2+7x+122 =x -x-12

(2)(x+3)(x-4)(3) (x-3)(x+4)

=x2+x-12 =x2-7x+12

(4) (x-3)(x-4)

2、提问：你有什么快速计算类似 以上多项式的方法吗？

整式的乘法两个一次二项式相乘的积

2 (x+a)(x+b)=x +(a+b)x+ab2 x +(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)因式分解两个一次二项式相乘的积

一个二次三项式

反过来，得

一个二次三项式

如果二次三项式x2+px+q中的常数项 系数q能分解成两个因数a、b的积， 而且一次项系数p又恰好是a+b,那么 x2+px+q就可以进行如上的因式分解。

x px q2

x (a b) x ab (x + a )(x + b)2

p

q

十字相乘法(借助十字交叉线分解因式的方法)例一：2步骤：

x

x

x 6 x 7 ( x 7)(x 1) ①竖分二次项与常数项

7

7或

②交叉相乘，和相加 ③检验确定，横写因式

1

1

顺口溜：竖分常数交叉验，

x 7x 6x

横写因式不能乱。

试一试： (顺口溜：竖分常数交叉验，横写因式不能乱。) 2 小结：

x 8x 15 ( x 5)(x 3)

x x

5 3

用十字相乘法把形如

x px q2

二次三项式分解因式使

q ab, p a b

( 3x) ( 5x) 8x

练一练： 将下列各式分解因式

x 5x 62=(x-2)(x-3)

x x 62

=(x+3)(x-2)

x 7 x 122

x 3 x 102

=(x+3)(x+4)2

=(x+5)(x-2)

小结： 用十字相乘法把形如

x px q 二次三项式分解因式 q ab, p a b

当q>0时，q分解的因数a、b( 同号 ) 当q<0时， q分解的因数a、b( 异号 )

观察：p与a、b符号关系

x 14x 45 ( x 5)(x 9)2

x 29x 138 ( x 23)(x 6)2

小结： 当q>0时，q分解的因数a、b( 同号 ) 且(a、b符号)与p符号相同

x 2 7 x 60 ( x 12)(x 5)x 2 14x 72 ( x 4)(x 18)

当q<0时， q分解的因数a、b( 异号 )

(其中绝对值较大的因数符号)与p符号相同

练习：在 横线上 填2

、 符号__ + __ +1) 1)

__ + 3)(x = ( x x 4x 3x 2 x 3 =(x __ 3)(x2

-

y 2 9 y 20 =(y __ 4)(y __ 5)

-

-

t 2 10t 56 =(t

- 4)(t __ __ + 14)

当q>0时，q分解的因数a、b( 同号 )且(a、b符号)与p符号相同 当q<0时， q分解的因数a、b( 异号) (其中绝对值较大的因数 符号)与p符号相同

注意：

当常数项是正数时，分解的 两个数必同号，即都为正或都为 负，交叉相乘之和得一次项系数。 当常数项是负数时，分解的两个 数必为异号，交叉相乘之和仍得 一次项系数。因此因式分解时， 不但要注意首尾分解，而且需十 分注意一次项的系数，才能保证 因式分解的正确性。

五、选择题：以下多

项式中分解因式为

x 6 x 4 B

的多项式是( c )

A

x 2 2 x 24

x 2 2 x 24 x 6 x 4

C

x 2 x 242

D

x 2 2 x 24

试将

x 6 x 16 分解因式2

x 2 6 x 16

x 6x 162

x 8 x 2 提示：当二次项系数为-1时 ，先提出负号再因式分解 。

六、独立练习：把下列各式分解因式

x 2 x 152 2

y 3 y 182 2

x 13x 12 a 13a 422

y 17 y 30

1、含有x的二次三项式，其中x2系数 是1,常数项为12,并能分解因式， 这样的多项式共有几个？若一次项的系数为整数， 则有6个；否则有无数个！!

2、分解因式 (1).x2+(a-1)x-a;

(1)(x+a)(x-1) (2)(x+y+12)(x+y-4)

(2).(x+y) 2+8(x+y)-48;

(2x+3)(x+4) =2x2+11x+122x 1x 3 4

2x×4+1x×3=11x结果中一次项系数是分解 后十字交叉相乘所得的和

(2x+3)(x- 4) = 2x2-5x+122x 1x 3 -4

2x×(-4)+1x×3=-5x结果中一次项系数是分解 后十字交叉相乘所得的和