实变函数与泛函分析基础第六章习题答案

是程其襄版的(第二版)

1.

(a,b)

f(x),g(x)

(a,b)

E

(a,b)

E

f(x)=g(x).xn∈E,

M

f(x)

N

g(x)

x0∈M,

n→∞

f(x0+0)=f(x0)=f(x0 0).

E

(a,b)

xn≤x0

limxn=x0,

f(x0 0)=limf(xn)=limg(xn)=g(x0 0).

n→∞

n→∞

f(x0+0)=g(x0+0),

x0

g(x)

x0∈E,

M N.

N M,

2.

M=N,

f(x)

g(x)

{fn}[a,b]

b

(fn)<K,(n=1,2,···),

fn(x)→f(x)(n→∞),

f(x)

f(x)

a

[a,b]

T:a=x0<x1<···<xm=b,

m i=1

b

|fn(xi) fn(xi 1)|≤(fn)<K,n=1,2,···.

am i=1

m i=1

|fn(xi) fn(xi 1)|=lim

n→∞

|fn(xi) fn(xi 1)|≤K.

f(x)3.

[a,b]

f(x)=xαsin

1

b

(f)≤K.a

2

1

xαk 1sin

1

1

2

xβk

β

((n 1) k)π+((n 1) k)π+(n k)π

+=2

π

π

+

α

(n k)π+

π

1

(n k+1)π

1

k

.

是程其襄版的(第二版)

k=2

n

1

xβ

βxα β 1cos

1

tβ

x

δ

=xαsin

1

是程其襄版的(第二版)

T

v=

n|f(xi) f(xi 1)|=|f(x1) f(a)|+

i) f(xi 1)|

i=1

≤|f(x1)|+|f(a)|+ b n|f(xi=2

(f)≤2M+|f(b)|+|f(a)|,

x1

b(f)≤2M+|f(b)|+|f(a)|<∞,a

f(x)[a,b]6.

{fn}

[a,b]

f(x)=

n=1

f(x)

[a,b]

∞fn(x)

n,

fn(x)

[a,b]

fn(x)=fn(a)+

x

f′

)dt.

a

n(tfn(x)

f′

n(x)≥0,a.e.

[a,b].

f(x)

[a,b]

f′(x)

[a,b]L

f(

∞

∞x)=

fn(x)=

fn(a)+

)dt.

n=1n=1

n

∞=1

x

f′

a

n(t

∞ x

′

xfn(t)dt=

n=1

a

f′

)dt.

an(tn∞

∞=1

fx)

n=1

n()]<∞.

n

∞t)dt≤

fn(b) fn(a=1

b

f′

a

n(n ∞

∞[=1

fn′

(x)

[a,b]

L

n=1

f(x)=

n(a)+

n

∞f=1

∞xf′

n(t)dt

n=1

a

[a,b]7.

f(x)

[a,b]

(1)f(x)[a,b]Lipschitz

(2)f(x)

[a,b]

(2)

(1).

x

f(x)=

g(t)dt,

a

3

a,b]

[

是程其襄版的(第二版)

g(x)

[a,b]

|g(x)|≤K,x∈[a,b].

[a,b]

x′,x′′,

x′>x′′,

f(x)

[a,b]

Lipschitzf(x)

′

x ′′′

|f(x) f(x)|= g(t)dt ≤K|x′ x′′|,

x′′

(1)(2).

[a,b]

Lipschitz

x

f(x)=f(a)+f′(t)dt.

f(x)

[a,b]

a

x,y∈[a,b],

K

Lipschitz

x

y

g(x)

[a,b]

|f′(x)|≤K,a.e.

f′(x),

g(x)=

K,

f′(t)dt =|f(x) f(y)|≤K|x y|,

[a,b].

|f′(x)|≤K,

|f′(x)|>K,

f(x)=f(0)+

8.

x

g′(t)dt.

”

”

S

”

”

f(x),α(x)

[a,b]

[a,b]

T:a=x0<x1<···<xn=b,

Mi

mi

f(x)

[xi 1,xi]

i=1,2,···,n,

S(T,f,α)=

s(T,f,α)=

¯b

a

n i=1

n i=1

Mi(α(xi) α(xi 1)),

mi(α(xi) α(xi 1)).

f(x)dα(x)=infS(T,f,α),

T

ba

f(x)dα(x),

f(x)

α(x)S

”

”

”

f(x)=

” 0, 1,

x∈ 1,

1

x∈ ,

2

4

1

2

,1,

是程其襄版的(第二版)

α(x)=

0,

[ 1,1]

T: 1=x0<···<xi 1< 1

σ=

n i=1

1,

x∈ 1,

1

x∈ .

2

1

2

,1,

2

<xj<···<xn=1,

f(ξi)[α(xi) α(xi 1)]=f(ξi) f(ξj)

,

σ

1 1,ξ> i

1

=0,ξi> 1,ξi< 1f(x)

22

ξi< ,

1

2

,

2

[ 1,1]S

α(x)

S

”

”

f(x)

T: 1=x0<x1<···<xn=1,

1

2

(xi 1,xi)

2

α(x0)=α(x1)=···=α(xn)=0. 1

2

S(T,f,α)=

0,s(T,f,α)=0;

1

∈[xj 1,xj],

S(T,f,α)=

n

Mk(α(xk) α(xk 1))=1 1=0,

n

k=1

s(T,f,α)=

¯1f(x)dα(x)=

1

mk(α(xk) α(xk 1))=0,

k=1

是程其襄版的(第二版)

i=1

∞

(ai,bi) E,

∞ i=1

m α(ai,bi)≥mα

∞

(ai,bi)

i=1

≥m αE,

inf

∞ i=1

m α(ai,bi),

i=1

∞

(ai,bi) E

≥m αE.

α(x)

α′(x).

x,

α(x 0)=α′(x 0),α(x+0)=α′(x+0),

∞ i=1

∞ i=1∞

∞

m α(ai,bi)=mα′(ai,bi).

E R1,

m αE=inf

=inf=inf=inf

m α(ai,bi),

(ai,bi) E

∞

i=1

(α(bi 0),α(ai+0)),(ai,bi) E

(α′(bi 0),α′(ai+0)),m α′(ai,bi),

∞

=m α′E.

i=1

∞ i=1

i=1

∞

(ai,bi) E

i=1

(ai,bi) E

i=1

L S

L S

α

L S

L S

L S

α(x)

L S

6