3.2.1-3.2.2直线的方向向量、平面的法向量以及空间线面关系的判

数学 2-1

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前面, 前面,我们把

平面向量

推广到

空间向量 空间向量

向量 渐渐成为重要 重要工具 渐渐成为重要工具

立体几何问题研究的基本对象是点,直线, (研究的基本对象是点,直线,平面 以及由它们组成的空间图形) 以及由它们组成的空间图形)从今天开始,我们将进一步来体会向量这一工 从今天开始, 具在立体几何中的应用. 具在立体几何中的应用.

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为了用向量来研究空间的线面位置关系, 为了用向量来研究空间的线面位置关系,首先我 们要用向量来表示直线和平面的"方向" 们要用向量来表示直线和平面的"方向".那么 如何用向量来刻画直线和平面的"方向" 如何用向量来刻画直线和平面的"方向"呢?

一,直线的方向向量空间中任意一条直线 空间中任意一条直线 l 的位置可以由 l 上一 以及一个定方向确定. 个定点 A 以及一个定方向确定.l

e

直线l上的向量 e 以及与 e 共线 直线 上的向量 的向量叫做直线l的方向向量. 的向量叫做直线 的方向向量.

eA

B

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二,平面的法向量由于垂直于同一平面的直线是互相平行的, 所以, 由于垂直于同一平面的直线是互相平行的 所以,可以 用垂直于平面的直线的方向向量来刻画平面的"方向" 用垂直于平面的直线的方向向量来刻画平面的"方向". 平面的法向量: 平面的法向量:如果表示向量 n的有向线段所在直线垂 直于平面 α ,则称这个向量垂直于平面 α ,记作 n ⊥α , 记作 法向量. 叫做平面 如果 n⊥ α ,那 么 向 量 n 叫做平面 α 的法向量 l 给定一点A和一个向量 那么过点 那么过点A, 给定一点 和一个向量 n,那么过点 为法向量的平面是完全确定的. 以向量 n 为法向量的平面是完全确定的几点注意: 几点注意: 1.法向量一定是非零向量 法向量一定是非零向量; 法向量一定是非零向量 2.一个平面的所有法向量都互相平行 一个平面的所有法向量都互相平行; 一个平面的所有法向量都互相平行 3.向量 n是平面的法向量,向量 m 是 向量 是平面的法向量, 与平面平行或在平面内, 与平面平行或在平面内,则有

nαA

n m = 0

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例 1:在正方体 ABCD A1 B1C1 D1 中,求 证: DB1 是平面 ACD1 的法向量证:设正方体棱长为 1, 为单位正交基底, 以 DA, DC , DD1 为单位正交基底, 建立如 图所示空间坐标系 D xyz ,则 A(1,0,0), (1,0,0), C(0,1,0), 1(0,0,1),B1(1,1,1) (0,1,0),D (0,0,1), (0,1,0), DB1 = (1,1,1) , AC = ( 1,1, 0) ,AD1 = ( 1, 0,1) DB1 AC = 0 ,

所以 DB1 ⊥ AC ,同理 DB1 ⊥ AD1 又因为 AD1 ∩ AC = A 所以 DB1 ⊥ 平面 ACD , 从而 DB1 是 一个法向量 法向量. 平面 ACD1 的一个法向量.

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例2:已知 AB = (2, 2,1), AC = (4,5,3), 求平面ABC的由两个三元一次方程 组成的方程组的解是 解:设平面的法向量为n = x,y,z), ( 不惟一的,

不惟一的,为方便起 z=1较合理 较合理. 见,取z=1较合理. 则n ⊥ AB , ⊥ AC n 其实平面的法向量不 是惟一的. 是惟一的. ∴ x,y,z) 2,1) = 0, ( i(2,

单位法向量.

(x,y,z) i(4,5,3) = 0,

1 2x + 2 y + z = 0 x = 即 , 取z = 1,得 2 4 x + 5 y + 3z = 0 y = 1

1 2 2 ∴ 求平面ABC的单位法向量为 ± ( , ,) 3 3 3

1 ∴ n = ( , 1,1), 2

3 | n |= 2

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问题:如何求平面的法向量?(1)设出平面的法向量为n = ( x, y, z )(2)找出(求出)平面内的两个不共线的 向量的坐标a = (a1 , b1 , c1 ), b = (a2 , b2 , c2 )平面的法向(3)根据法向量的定义建立关于x , y , z的 n a = 0 a1 x + b1 y + c1 z = 0 方程组 n b = 0 a2 x + b2 y + c2 z = 0量不惟一, 量不惟一, 合理取值即 可.

(4)解方程组,取其中的一个解,即得法向量.

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例3. 在空间直角坐标系内,设平面 α 经过 在空间直角坐标系内, 点 P ( x 0 , y 0 , z 0 ) ,平面 α 的法向量为 e = ( A, B, C ),M ( x, y, z ) 为平面 α 内任意一点,求 x, y , z 内任意一点,

满足的关系式. 满足的关系式. 解:由题意可得 PM = ( x x0 , y y0 , z z0 ), e PM = 0

即( A, B , C ) ( x x0 , y y0 , z z0 ) = 0化 简 得 : A( x x0 ) + B ( y y0 ) + C ( z z0 ) = 0

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因为方向向量与法向量可以确定直线和 平面的位置, 平面的位置,所以我们应该可以利用直线的 方向向量与平面的法向量表示空间直线, 方向向量与平面的法向量表示空间直线,平 面间的平行,垂直,夹角等位置关系. 面间的平行,垂直,夹角等位置关系. 平行 等位置关系 那么如何用直线的方向向量表示空间 两直线平行,垂直的位置关系以及它们之 两直线平行, 间的夹角呢? 间的夹角呢?如何用平面的法向量表示空 间两平面平行, 间两平面平行,垂直的位置关系以及它们 二面角的大小呢? 二面角的大小呢?

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三,平行关系: 平行关系:设直线 l1 , l2 的方向向量分别为 e1 , e2 , 平面

α1 , α 2 的法向量分别为 n1 , n2 ,则线线平行 l1 // l 2 e1 // e 2 e 1 = λ e 2 ;线 面 平 行 l 1 // α 1 e 1 ⊥ n1 e 1 n1 = 0 ;

面面平行 α 1 // α 2 n1 // n 2 n1 = λ n 2 .注意:这里的线线平行包括线线重合, 注意:这里的线线平行包括线线重合,线面平行 法向量为n = (a2 , b2 , c2 包括面面重合 包括线在面内,面面平行包括面面重合. 包括面面重合. 包括线在面内,面面平行),则

设直线l的方向向量为e = (a1 , b1 , c1 ), 平面α的

l // α e ⊥ n = 0 a1a2 + bb2 + c1c2 = 0; 1

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所在平面互相垂直, 如图, 例4 如图,已知矩形 ABCD 和矩形 ADEF 所在平面互相垂直,点 1 1 M , N 分别在对角线 BD, AE 上,且 BM = BD, AN = AE, 3 3 求证: 求证:MN // 平 面 CDE 简证:因为矩形 和矩形ADEF 简证:因为矩形ABCD和矩形 和矩形 F 所在平面互相垂直,所以AB, , 所在平面互相垂直,所以 ,AD, AF互相垂直.以 AB, , 为正交 互

相垂直. 互相垂直 AD AF 基底,建立如图所示空间坐标系, 基底,建立如图所示空间坐标系, A 长分别为3a, , , 设AB,AD,AF长分别为 ,3b,3c, 长分别为 B 则可得各点坐标, 则可得各点坐标,从而有NM = NA + AB + BM = ( 2a,0,c)

zN

E

D

yM C

x

又平面CDE的一个法向量是 又平面CDE的一个法向量是 AD = (0,3b,0) CDE由NM AD = 0 得到 NM ⊥ AD

因为MN不在平面 不在平面CDE内 因为 不在平面 内 所以MN//平面 平面CDE 所以 平面

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四,垂直关系: 垂直关系:设直线 l1 , l2 的方向向量分别为 e1 , e2 , 平面

α1 , α 2 的法向量分别为 n1 , n2 ,则线线垂直 l1 ⊥ l 2 e 1 ⊥ e 2 e 1 e 2 = 0 ;线面垂直 l 1 ⊥ α 1 e 1 // n 1 e 1 = λ n 1 ;面面垂直 α 1 ⊥ α 2 n1 ⊥ n 2 n1 n 2 = 0.

若e = (a1 , b1 , c1 ), n = (a2 , b2 , c2 ),则 l ⊥α e // n e = λn a1 = λa2 , b = λb2 , c1 = λc2. 1a1 b c1 当a2 , b2 , c2 ≠ 0时e // n = 1 = , a2 b2 c2

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分别是BB , 分别是 例5.在正方体 ABCD A1 B1C1 D1 中,E,F分别是 1,, 5.在正方体 CD中点,求证:D1F ⊥ …… 此处隐藏：3455字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……