分块矩阵在矩阵证明题中的应用

分块矩阵在矩阵证明题中的应用

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赵华分矩在阵明中应中：块阵矩证题的用

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分块矩阵在矩阵证明题中的应用赵中华南京财经大学应用数学学院

南京

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摘要结合矩阵中的一些结论，讨论分块矩阵在矩阵证明题中的应用。例题说明分块的方法是矩阵证明题中较简捷、有效的方法。

关键词分块矩阵；秩；初等变换中图分类号：0 4 . 2 16文献标识码：B 文章编号：1 7— 8 X 2 1) 9 0 5— 3 6 1 4 9 (0 0 0— 0 2 0

A plc tiF o o k M t i i r o f M t i/ Z a h n h a p a OI f Blc a P o f o a r x/ h o Z o g u i rX nAs at b tr c Th pa e di c s t e p i a on f e pr s us es h a pl c ti o bl k at x n h pr o o ma ri oc m ri i t e of f t x, c mb n d o i e wi h t t e o l i n o m ri h c nc us o s f at x. Ex m e s o t a t e a pl s h w h t h wa o bl c i mo e f c ve n s cc n i y f ok s r e fe ti a d u i ct nt e p o o m r x h ro f f at i . K y w d o k a ri e or s bl c m t x: r k: p m r t a f r at o an ri a y r ns o m n i

A t o’ S a d e s n t t t f A p l d M t s N n i g U i . o i a c& E o o i s N n i g C ia u h r d r s I s iu e o p l e a h, a j n n v f F n n e cnm c, a jn, hn204 106

在高等代数中，矩阵分块的方法对矩阵证明题来说是一种很好的方法。本文结合矩阵的初等变换、矩阵秩的有关性质，对相关矩阵进行分块或构造相关的分块矩阵，讨论分块r ) (+r

矩阵在证明题型中的应用。

() +

。

先以常用的2的分块矩阵为例，给出几个与分块矩阵 1 1在秩的不等式证明中的应用 X2 相关的定义与性质。 ㈣、例 l设 A=A…, B=B… 定义 1:对/+ n阶单位矩阵作 2X 2分

块，即// , :

0

E

:

1然对作应初变所到矩 f 0,后其相的等换得的阵 10 J

证明：r+r )≤rA ) ( ) (一 ( B mi{ A,()。 n r ) } ( r、

O 0

、● ,/

称为分块初等矩阵。

证明构 J对进如初变：造f 0,其行下等换 A]

.,

由定义 1得，分块初等矩阵具有以下形式：可1 )分块初等对换阵： 2 )分块初等倍乘阵： 3 )分块初等倍加阵： 其中P分别是m和邡介、p阶可逆方阵。

];

( (吕 ];

(:] A—一一—一 ] ] )Br]: )‘+ JE0,+ E c r (=一] r c【 J ( ) c( ( 【 (

.

.

.

.

r+,曰)≤rA ) ( ) (一 ( B

注：在使用分块初等矩阵乘法时，要注意所作分块必须使得分块乘法的运算能进行。 由定义1,给出分块初等矩阵的性质。

又 (吾故 rA ) ( ) ) (B C= (。…A B

,)

性质1:对分块矩阵进行一次行 ( )初等变换，相当列于左 ( )乘一个相应的分块初等矩阵。右

性质 2:分块初等矩阵是可逆矩阵，分块初等变换不改变矩阵的秩。 性质3:对一个分块矩阵左 ( )乘一个分块初等矩右阵，不改变原分块矩阵的秩。

mnr ) (} i (,。{A r )注：本例中，若，=0,贝 r+rB 4 0( ) ( )1 2在秩的等式证明中的应用 .例2设为n A阶方阵，证明：

。

1分块矩阵在秩的证明题中的应用证明方法：利用分块初等矩阵的性质和秩的性质。 秩的2个性质：作者：硕士，讲师。 2 1年3 0 0月下第9 (期总第 1 5 ) 9期

A=E。

rE+A+rE一=,。 ( ) ( ) 2

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, ,

●

一 2一 +

赵华分矩在阵明中应中：块阵矩证题的用证明如上， P Q AO

5 300

证构 f明造一

1 0

E—A J

0]对进如初变：,其行下等换)

0\、●●●●●●/

EA 0+

E 0]

E+A E—A

0]

o

?, o2=HL, l ) ￣ o

( ) (=, ( 0 ,所以 r=, )。 E ) Q

] f E] ! 【A2J E+—+ : E_ . .

4分块矩阵在矩阵行列式相关问题中的应用证明方法：利用分块矩阵的初等变换及行列式的运算。 例6设 A=A,… B=B, m≥ n n。

,

(一r] E 0[ ](=E

证明：l A 一 E一B。 2一B= A E I l 2 I

证构 f A,其行下等换明造 m]对进如初变：

即： rE+A+rE一=rE—A ) rE=r ( ) ( ) (+() ( E—A ) 。+n_

.

.

,E++ ( A=n营 A ( ) rE— )=E即E-

]—0

2分块矩阵在矩阵存在性问题中的应用证明方法：利用矩阵秩的化简结论。结论：设 A是一个矩阵， r 1 r,则 r (= r= A),存在脚阶可逆矩阵 P和月阶可 I月逆矩阵，使 l l×.= 仃

A￣ I (

或

2 E

] —一枷 IZE - - =" . 2B 1 A

],

(, O

]且rB=n。 ()

满0…州)

(B]EE-一] A。 EEE 0一A八 J ] ( / = 2 B BA E .

PQ A/,,。,

若』满秩时，P Q= 4行 A

)。

例3设= BO

1 A l 1一A A -B= B E

证明：存在=

, ()且rA=n,使A=E。 B

注：此题也可转化为证明秩的问题 r2一 B) (E A=m—n+rE - A) ( B。

5分块矩阵在矩阵求逆问题中的应用,

使Q]== P(.尸]P‘曰 - Q]= . (一 (

证明方法：利用分块矩阵的初等变换及分块矩阵求逆的方法及结论。

A()[_ BQPQ=。']。 Po -

结： n方=]其 论阶阵 (,中若詈A∈R .∈ R (一 C∈ ( ) D∈R( r( , i是可逆 B n ) x一,

,

阵的要条 ×矩阵( m )其中 _=充件阶 M j , r )

f丘0 1经有次等换可为， ,过限初变后化 u×(… )( )×一

i_ Y明

设， ) (:r,则存在月阶可逆矩阵P,p,使

( _ M)则= E, 】, M。例7已知矩阵 , ,且+AB为月可逆阵，阶

Q【 0 o J。Oo

/ ), E￣c

嚣媳

求证+可逆，且 (+ ) 一 (+ B A。 ~= BC A )

如下化简：

证渤阶块阵=明构 分矩 M (

)其行，进对

c

(

] — (等]2 1年 3 00月下第9 (第15 )期总 9期

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孙娟智控课教的点考晓：能制程学几思

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智能控制课程教学的几点思考孙晓娟

宝鸡文理学院电子电气工程系摘

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要针对智能控制课程内容的特点，以及大学本科学生的教学要求，提自动化及相关专业本科高年级中智能

控制课程教学的几点思考，并结合自身教学实践，提出智能控制课程教学的几点对策。 关键词智能控制；教学实践；本科教学：教学方法中图分类号：G 4 62文献标识码：B 文章编号： 17— 8 X 2 1 ) 9 0 5— 2 6 1 4 9 (0 0 0— 0 4 0

S m h u h s o T a hig o It lg n o t o C u s/ S n X a j a o e T o g t n e c f el ie t C n o r e/ u i o u n n n gIAb tr t Th co tri ti n o thi pa r i t t i c mbi s ac e n bu o f S pe S ha t o nes bot t c r h he ha act ri ti of t e s C he

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