浙江省2011高考数学压轴题预测

浙江省2011高考数学压轴题预测

1 2011高考数学压轴题预测

2010年全国各地高考数学压轴题，归纳起来总的有：以主干知识为支柱，注重知识的交叉点和结合点，尤其是在数列与不等式，数列与解几，向量与解几，函数与不等式，函数与导数，导数与不等式等知识中命题.

压轴题是高考试题的主要表现形式，其特点是考察考生对高中数学各组块知识的交会、综合能力、运算变形能力、信息整合能力、数学思想方法运用能力及创新思维能力．解答压轴题关键是做好审题和探求解题思路两个环节：审题时必须明确的目的性、提高准确性、注意隐含性，探究解题思路时力求从各个不同侧面、不同角度分析条件与结论之间的关系，充分挖掘隐含条件，破除定式化．解答压轴题要遵循熟悉化、具体化、简单化、和谐化原则．解答压轴题还必须注意设计有效的解答步骤、完整的表达形式、清晰的辅助图形．随着数学高考压轴题的命题，由知识立意向能力立意的转变，试题的取材愈来愈增强应用性和综合性，其综合测试能力将会打破传统观念，向跨学科能力过渡．

解答压轴题还要注意：(1)语言转换能力.每个数学综合题都是由一些特定的文字语言、符号语言、图形语言所组成.解综合题往往需要较强的语言转换能力.还需要有把普通语言转换成数学语言的能力.(2)概念转换能力：综合题的转译常常需要较强的数学概念的转换能力.（3）数形转换能力.解题中的数形结合，就是对题目的条件和结论既分析其代数含义又分析其几何意义，力图在代数与几何的结合上找出解题思路.运用数形转换策略要注意特殊性，否则解题会出现漏洞.

1．涉及函数、数列、导数、不等式、二项式定理等知识的压轴题

例1 设函数()()()()2

1,41f x x g x x =-=-，数列{}n a 满足：12a =， ()()()()*1n n n n f a a a g a n N +=-∈．

（1）求证：数列{}1n a -是等比数列；

（2）令212()(1)(1)(1)n n h x a x a x a x =-+-++- ，求函数()h x 在点83x =处的导数'8()3h 并比较'8()3

h 与22n n -的大小. 解：（1）∵()()()1n n n n f a a a g a +=-，∴()()()2

1141n n n n a a a a +-=--， ∵1n a ≠，∴1431n n a a +=+，即113131(1)444

n n n n a a a a ++=

+?-=-， ∵111a -=，∴{}1n a -是首项为1，公比为34的等比数列． （2）∵'112()(1)2(1)(1)n n h x a a x n a x -=-+-++- ，又∵1314n n a -??=+ ???

， ∴'133()12()44n h x x n x -=+?++ ，∴'18()12223

n h n -=+?++? ， ① '2182()222(1)223

n n h n n -=+?++-?+? . ② ②-①得()()()'218()212222211213

n n n n n h n n n -=?-++++=?--=-+ ， ∵()()()()()'228()2121212213

n n h n n n n n n n --=-+--=---，

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2 当1n =时，()'28()23h n n =-，

当2n =时，()()'2'288()210()233h n n h n n --=-<?<-，

当3n ≥时，10n ->，()011211n n n n n n n n C C C C -=+=++++ ≥2221n n +>+，

∴()()12210n n n --->，∴()

'28

()23h n n >-. 评析：本题涉及函数、数列、导数、不等式、二项式定理等知识的综合题，其主要应用化归、讨论、归纳、等数学思想解决问题．运用扎实的基本知识理解和转换综合题,只要基本知识点熟练，知识交会思路清晰，确定解题途径也是水到渠成．

2. 涉及借助导数方法解决函数单调性、最值问题的压轴题

例2 已知函数2()ln f x x x ax =+-．

（1）若()f x 在(0,1)上是增函数，求a 得取值范围；

（2）在（1）的结论下，设2()||x x g x e e a =+-，[0,ln 3]x ∈，求函数()g x 的最小值.

解：（1）1()2f x x a x

'=+

-，()f x 在(0,1)上是增函数， 120x a x ∴+->在(0,1)上恒成立，即12a x x <+恒成立

. 12x x +≥

2

x =时取等号）

，所以a <

当a =,易知()f x 在(0,1)上也是增函数,

所以a ≤（2）设x t e =，则2()h t t t a =+-，0ln 3x ≤≤ ，13t ∴≤≤.

当1a ≤时，2()h t t t a =+-在区间[1,3]上是增函数，所以()h t 的最小值为(1)2h a =-.

当1a <≤22(1)()(3)

t t a t a h t t t a a t ?-+≤<?=?+-≤≤??. 因为函数()h t 在区间[,3]a 上是增函数，在区间[1,]a 上也是增函数，所以()h t 在[1,3]上为增函数， 所以()h t 的最小值为(1)h a =.

所以，当1a ≤时，()g x 的最小值为2a -

；当1a <≤()g x 的最小值为a .

评析：本题是借助导数方法解决函数单调性、最值问题的基本综合性问题，导数方法的引入，给函数背景的高考试题增添了活力，也极大地拓展了试题的外延，增强了函数的应用功能．

3. 涉及函数、方程、不等式与解析几何等综合问题的压轴题

例3已知二次函数c bx ax x f ++=2)(的图象过),(11y t A 、),(22y t B 两点，且满足

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3 021212=+++y y a y y a )(.

（1）求证：a y -=1或a y -=2；

（2）求证：函数()f x 的图象必与x 轴有两个交点；

（3）若关于x 的不等式()0f x >的解集为m x x >{或}n x <(n<m<0)，解关于x 的不等式02>+-a bx cx .

解：（1）021212=+++y y a y y a )( ，

021=++∴))((y a y a 得a y -=1或a y -=2.

反过来想想看, 要证a y -=1或a y -=2, 只要证明0))((21=++y a y a 就行了, 当中的合二而一的思想是十分巧妙的.

（2）当0>a 时，二次函数()f x 的图像开口向上，图像上的点A 、B 的纵坐标均为a -且小于零，所以图像x 轴有两个交点；

当0<a 时，二次函数()f x 的图像开口向下，图像上的点A 、B 的纵坐标均为a -且大于零，所以图像x 轴有两个交点．

故二次函()f x 的图象与x 轴有两个不同的交点．

（3）02>++c bx ax 的解集为m x x >{或}n x <（n<m<0），∴0,0,0a b c >>>,

从而方程02=++a bx cx 的两个根为m x 11=、n x 12=, 则方程02=+-a bx cx 的两个根为m

x 11-=、n x 12-=. n<m<0，∴m n 11-<-, 故不等式02>+-a bx cx 的解集为m x x 1-

>{或}n x 1-<. 评析：本题是一道涉及函数、方程、不等式与解几的综合题，是一道考知识、考能力的好题，按步思维，层层递进，直逼目标，这是解答数学综合问题的基本通法，尤其是借助函数图象、方程的曲线等几何直观帮助理解问题的习惯养成有利于综合解题能力的提高．借助良好的数形结合的理念解读压轴题是解题的关键.

4. 涉及函数、解析几何、方程、恒成立等综合问题的压轴题

例4 已知函数)1(1)(2≥-=x x x f 的图象是C 1，曲线C 2与C 1关于直线y=x 对称.

（1）求曲线C 2的方程)(x g y =；

(2)设函数)(x g y =的定义域为M ，,,,2121x x M x x ≠∈且求证|||)()(|2121x x x g x g -<-.

（3）设A ，B 是曲线C 2上任意不同的两点，求证直线AB 与直线y=x 必相交.

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4 解：（1）因为曲线C 1和C 2关于直线y=x 对称，所以)(x g y =是)(x f y =的反函数.

由1,122+=-=y x x y 得. 而由)0(1,01≥+=≥≥y y x y x 从而知，

故曲线C 2 …… 此处隐藏：11683字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……