贵州省贵阳市花溪二中八年级数学竞赛讲座：第二十四讲 配方法的

八年级数学竞赛讲座

第二十四讲 配方法的解题功能 把代数式通过凑配等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质达到增加问题的条件的目的，这种解题方法叫配方法．

配方法的作用在于改变代数式的原有结构，是求解变形的一种手段；配方法的实质在于改变式子的非负性，是挖掘隐含条件的有力工具，配方法在代数式的化简求值、解方程、解最值问题、讨论不等关系等方面有广泛的应用．

运用配方法解题的关键是恰当地“配凑”，应具有整体把握题设条件的能力，即善于将某项拆开又重新分配组合，得到完全平方式．

例题求解

【例1】已知有理数x，y，z满足x y 1 z 2

京市竞赛题) 思路点拨 三元不定方程，尝试从配方法人手．

【例2】 若x 1

A．3 B．y 1z 2，则x2 y2 z2可取得的最小值为( ) 2312(x y z)，那么(x—yz)的值为 ． (北2599 C． D．6 142

(武汉市选拔赛试题)

思路点拨 通过引参，设x 1 y 1z 2 k，把x，y，z用k的代数式表示，则x2 y2 z2转化为23

关于k的二次三项式，运用配方法求其最小值．

【例3】怎样的整数a、b、c满足不等式：a2 b2 c2 3 ab 3b 2c．

(匈牙利数学奥林匹克试题)

思路点拨 一个不等式涉及三个未知量，运用配方法试一试．

【例4】 求方程m－2mn+14n=217的自然数解． (上海市竞赛题)

思路点拨 本例是个复杂的不定方程，由等式左边的特点，不难想到配方法．

【例5】求实数 x、y的值，使得(y－1)+(x+y－3)+(2x+y－6)达到最小值．

(全国初中数学联赛试题)

思路点拨 展开整理成关于x(或y)的二次三项式，从配方的角度探求式子的最小值，并求出最小值存在时的x、y的值．

【例6】 为了美化校园环境，某中学准备在一块空地(如图，矩形ABCD，AB=10m，BC=20m)上进行绿化，中间的一块(图中四边形EFGH)上种花，其他的四块(图中的四个直角三角形)上铺设草坪，并要求AC＝AH=CF=CG，那么在满足上述条件的所有设计中，是否存在一种设计，使得四边形EFGH (中间种花的一块)

22222

八年级数学竞赛讲座

面积最大?若存在，请求出该设计中AE的长和四边形EFGH的面积；若不存在，请说明理由．

(2温州市中考题)

思路点拨 这是一道探索性几何应用题，解题的关键是代数化．设AE=AH=CF=CG=xm，则BE=DG=(20－x)m，四边形EFGH的面积可用x 的代数式表示，利用配方法求该代数式的最大值．

注 配方的对象具有多样性，数，字母、等式、不等式都可以配方；同一个式于可以有不同的配方结果，可以配一个平方式，也可以配多个平方式．

配方法的实质在于揭示式子的非负性，而非负数有以下重要性质：

(1)若有限个非负数的和为0，则每一个非负数都为零；

(2)非负教的最小值为零．

学历训练

1．若a2 b2 c2 2(a b c) 3 0，则a3 b3 c3 3abc ．

(2江西省中考题)

2．设a2 b2 1 2，b2 c2 1 2，则a4 b4 c4 a2b2 b2c2 c2a2的值等于． ( “希望杯”邀请赛试题)

3．分解因式：a2 b2 4a 2b 3

4，已知实数 x、y、z满足x y 5，z2 xy y 9，那么x 2y 3z (“祖冲之杯”邀请赛试题)

5．若实数x、y 满足x2 y2 4x 2y 5 0，则x y的值是（ ） 3y 2x

A．1 B．3

2 C．3 2 D．2

6．已知a 1999x 2000，b 1999x 2001，c 1999x 2002，则多项式a2 b2 c2 ab bc ac的值为( )

A．0 B．1 C． 2 D．3

(全国初中数学竞赛题)

7．整数x、y满足不等式x2 y2 1 2x 2y，则x+y的值有( )

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ( “希望杯”邀请赛试题)

8．化简24 2 21 3为( )

A．5－4 B． 4－l C．5 D． 1 (2003年天津市竞赛题)

9．已知正整数 a、b、c满足不等式a2 b2 c2 42 ab 9b 8c，求a、b、c的值．

八年级数学竞赛讲座

(江苏省竞赛题)

10．已知x、y、z为实数，且满足 x 2y z 6，求x2 y2 z2的最小值． x y 2z 3

(第12届“希望杯”邀请赛试题)

11．实数x、y、z满足 x 6 3y，则x2y z的值为 ． 2 x 3y 2xy 2z 0

112．若a b 2a 1 4 2 3 3 c 5，则a+b+c的值为 ． 2

y2

13．x、y为实数，且x 4 xy 2y，则x、y的值为，． 22

14．已知M 4x2 12xy 10y2 4y 9，那么当，M的值最小，M的最小值为

15．已知a b 4，ab c2 4 0，则a+b＝( )

A．4 B．0 C．2 D．－2

(重庆市竞赛题)

16．设a. b 0，a2 b2 3ab，则a b的值为( ) a b

A．2 B． C ．2 D． (江苏省竞赛题)

17．若 a、b、c、d是乘积为l的4个正数，则代数式a2 b2 c2 d2 ab ac ad bc bd cd 的最小值为( )

A．0 B．4 C．8 D．10

18．若实数a、b、c满足a2 b2 c2 9，代数式(a b)2 (b c)2 (c a)2的最大值是( )

A．27 D．18 C．15 D．12

119．已知x+y+z=1，求证：x2 y2 z2 ． 3

(苏奥尔德莱尼基市竞赛题)

20．已知a>b，且(a b) (a ab b) a 243，a、b 为自然数，求a、b的值． b

2a2

1 a2 b，2b2

1 b2 c，2c2

1 c2 a，试求 21．已知a、b、c是△ABC的三边长，且满足

△ABC的面积． 22．某种产品按质量分为10个档次，生产最低档次产品，每件获利润8元，每提高一个档次，每件产品利润增加2元．用同样工时，最低档次产品每天可生产60件，提高一个档次将减少3件．如果获利润最大的产晶是第k档次(最低档次为第一档次，档次依次随质量增加)，求k的值． (山东省竞赛题)

八年级数学竞赛讲座

第 4 页(共 4 页)