解析函数的孤立奇点与留数

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解析函数的孤立奇点与留数留数是区别解析点与孤立奇点的重要标志； 留数是区别解析点与孤立奇点的重要标志；留 数揭示了孤立奇点与围道积分的内在联系。 数揭示了孤立奇点与围道积分的内在联系。 一.孤立奇点及其分类: 孤立奇点及其分类: 1.定义 若f(z)在z0不解析 但在 0的某一去心邻域 定义 在 不解析, 但在z 0<|z z0|<δ 内解析 则称 0为f(z)的孤立奇点 内解析, 则称z 的孤立奇点. 由定义可知， 由定义可知，若z0为f(z)的孤立奇点，则意味 的孤立奇点， 着在z 的某个领域里只有z 一个奇点。 着在 0的某个领域里只有 0一个奇点。 并非所有的奇点都孤立，例如： 并非所有的奇点都孤立，例如：f (z) = 1 1 sin z

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2. 分类 由Laurent级数中负幂项的个数来分类 Laurent级数中负幂项的个数来分类 级数中负幂项的个数 的孤立奇点, 设z0为f(z)的孤立奇点, 则f(z)在0<|z z0|<δ 内 的孤立奇点 在 cn (z z0 )n . 解析， 解析， Laurent展式为 n∑ 展式为 = ∞∞

1).若无负幂项, 则称 0为f(z)的可去奇点； 1).若无负幂项, 则称z 的可去奇点； 2).若只有有限个负幂项, 则称z 2).若只有有限个负幂项, 则称 0为f(z)的极点； 的极点； 若c-m ≠ 0, 而cn = 0 (n<-m), 则称 0为f(z) , , 则称z 级极点, 的m级极点, 级极点

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3). 有无穷多个负幂项, 则称z 3).若有无穷多个负幂项, 则称 0为f(z)的本性奇点。 的本性奇点。 判别： 判别： (1)如果 0为f(z)的可去奇点 则在 如果z 如果 的可去奇点, 则在0<|z z0|<δ内, 有 f ( z) = ∑ cn (z z0 ) ,n n=0 ∞

f (z) ∑ cn (z z0 ) = n=0 c0+∞ n

0 < z z0 < δ z = z0

lim f (z) = c0 ,z→ 0 z

解析， 重新定义 f ( z 0 ) = c 0 , 则 f ( z )在 z 0 解析，且f (z) = cn (z z0 )n , ∑n=0 +∞

z z0 < δ

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sin z sin z 如对函数 补充定义 成f ( z ) = z z 1 则 f (z ) 在z = 0处解析 处解析. 处解析

0 < |z| < δ z=0

,

; (2) z0为f(z)的极点 lim f (z) = ∞ 的极点 z→ z0

如果z0为f(z)的m级极点 则在 级极点, 如果 的 级极点 则在0<|z z0|<δ内,有 有f (z) =n= m

C n ( z z0 ) n ∑

+∞

= C m ( z z 0 ) m + L + C 1 ( z z 0 ) 1 + C 0 + C1 ( z z 0 ) + L

f (z) = ( z z0 )

m

g ( z ), 其中

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g ( z ) = C m + C m +1 ( z z0 ) + C m + 2 ( z z0 ) 2 + L =n= m

C n ( z z0 )n+ m ∑

∞

在 z z 0 < δ 内解析 ,

z0为f(z)的m级极点 的 级极点

g ( z ) = ( z z 0 ) m f ( z )解析且 g( z 0 ) ≠ 0(3) z0为f(z) 的本性奇点： 本性奇点：C n ( z z 0 ) n 中负幂项有无穷多项 若∑n = ∞ +∞

lim f ( z )不存在也不为 ∞z → z0

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从 lim f ( z ) 的情况来看 z→ z →0

为有限复常数; z0为f(z)的可去奇点 lim f

(z) = c0 ,c0为有限复常数 的可去奇点 z→ 0 z

; z0为f(z)的极点 lim f (z) = ∞ 的极点

z0为f(z)的m级极点 级极点 的 级极点 lim ( z z 0 ) k f ( z ) = ∞ ,0 ≤ k < ∞ z → z0 lim ( z z 0 ) m f ( z ) = c m , c-m为有限复常数 为有限复常数; z → z0 z0为f(z)的本性奇点 lim f (z)不存在 且不为∞. 不存在, 且不为∞ 的本性奇点 z→z →0

z→ 0 z

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二. 零点与极点的关系(1) 定义 若解析函数 能表示成 定义: 若解析函数f(z)能表示成 f(z) = (z z0)m (z), 其中 (z0)≠0, 且 (z)在z0处解析, m为某一正整 ≠ 在 处解析, 为某一正整 则称z 数, 则称 0为f(z)的m级零点. 的 级零点 (2) 性质 (a) 如果 在z0处解析 那么 0为f(z)的m级零点 如果f(z)在 处解析, 那么z 级零点 的 级零点 f (n)(z0) = 0 (n = 0, 1, 2, …, m 1), f (m)(z0) ≠ 0. 1 (b) z0为f(z)的m级极点 z0为 级极点 的 级极点 级零点. 的m级零点 级零点 f (z)

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求下列函数的奇点，并指出其类型： 例1 求下列函数的奇点，并指出其类型：1 1 ( 1 ) f ( z ) = z (sin ) z2

解

1 奇点 : z = 0, z k = ( k = ± 1, ± 2 , L). kπ lim z k = 0 z = 0为非孤立奇点k →∞

z → zk

lim f ( z ) = ∞ z k ( k = ± 1, ± 2 , L)为极点， 为极点，1 sin 1 1 z )′ ′= ( ) = 0, ( f (zk ) f (z) z2 ≠ 0

zk

z k 为 1 级极点

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( z + 1 ) sin z (2) f ( z ) = 2 2 z ( z 1) 22

解 奇点 : z = 0, z = 1, z = 1lim f ( z ) = ∞ z = 0为极点， 为极点，1 2 1 z +L ( z + 1) 2 3! f (z) = z = 0为 1级极点 2 2 z ( z 1)z→0

z = 1 为 2 级极点 z = 1 为可去奇点

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(3) f ( z ) =

1 z 2 (e z 1)

z = 0为 z 2 的 2 级零点 , z k = 2 k π i ( k = 0 , ± 1, L )为 解 1 e 1的 1级零点 z = 0为 = z 2 ( e z 1 )的 3 级 f (z) 1 零点 , z k ( k = ± 1, L )为 = z 2 ( e z 1 )的 1级零点 f (z)z

z = 0为 f ( z )的 3 级极点 , z k = 2 k π i ( k = ± 1, L )为 f ( z )的 1级极点

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1 ( 4 ) f ( z ) = z cos z

解 奇点 : z = 01 f ( z ) = z cos z 1 1 1 1 ( 1) n 1 = z [1 + L + + L] 2 4 2n 2! z 4! z ( 2 n )! z

z = 0 为 f ( z )的本性奇点

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三. 函数在无穷远点的性态(1) 分类 分类: 的去心邻域R<|z|<+∞内解析 若f(z)在z = ∞的去心邻域 在 ∞内解析, 则称∞ 则称∞为f(z)的孤立奇点 的孤立奇点. 0是 f(1/t)的孤立奇点 的孤立奇点. 令t = 1/z, 则t = 0是 (t) = f(1/t)的孤立奇点. 我们规定: 我们规定 若t = 0是 (t) = f(1/t)的可去奇点 是 的可去奇点 (m级极点 本性奇点 则称 ∞是f(z) 级极点, 本性奇点), 则称z=∞ 级极点 可去奇点(m级极点 本性奇点). 级极点, 的可去奇点 级极点 本性奇点

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(2) 判定 若f(z)在R<|z|<+∞内解析 则在此圆环内有 在 ∞内解析,f ( z ) = ∑ c n zn =1 ∞ n

+ ∑ cn z ,n n=0

∞

(*)

通过

变换t 内的Laurent 通过变换 = 1/z得 (t)在0<|t|<1/R内的 得 在 内的 展式: 展式 ∞ ∞ n n ( t ) = ∑ c n t + c 0 + ∑ c n t ,(**)n =1 n =1

z = ∞ 为可去奇点 f (z) =+∞ n = ∞

lim f ( z )= c 0z→∞

n C n z ( R < z < +∞ ) 不含正幂项 ∑

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z = ∞ 为极点 f (z) =n = ∞ n C n z ( R < z < +∞ )只含有限个正幂项 ∑ +∞

z = ∞ 为 m 级极点 C m ≠ 0, C n = 0( n > m )

lim f ( z ) = ∞

z = ∞ 为本性奇点 f (z) =z→∞

z→ ∞

n = ∞

n C n z ( R < z < +∞ )含无穷多个正幂项 ∑

+∞

lim f ( z ) 不存在且不为 ∞

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